2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение31.01.2023, 22:31 


06/02/16
13
Допустим u(t) и v(t) два абсолютно интегрируемых сигнала, имеющие U($\omega$) и V($\omega$) Фурье интегралы соответственно. Произведение U($\omega$)$\cdot$ V($\omega$) должно являться Фурье интегралом от свертки
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$.
Это я правильно понял? Хочу проверить эту теорему на каких-нибудь простых сигналах. Например, на двух простых прямоугольных импульсах c центром в t=0.
Предположим $$u(t)=\begin{cases}
A,&\text{если $-\frac{T}{2}\leqslant t \leqslant \frac{T}{2}$;}\\
0,&\text{иначе.}
\end{cases}\ 
v(t)=\begin{cases}
B,&\text{если $-\frac{\Delta}{2}\leqslant t \leqslant \frac{\Delta}{2}$;}\\
0,&\text{иначе.}
\end{cases}$$ где $\Delta\geqslant T$ чисто для определенности.
Их Фурье интегралы будут равны
$U(\omega)=A$\cdot$ $\frac{\sin(T\cdot\frac{\omega}{2})}{\frac{\omega}{2}}$ и V($\omega$)=B$\cdot$ $\frac{\sin(\Delta\cdot\frac{\omega}{2})}{\frac{\omega}{2}}$$ соответственно. Произведение $U(\omega)$\cdot$V($\omega$)=$\frac{4AB}{\omega^2}$\cdot$ $\sin(T\cdot\frac{\omega}{2})$\cdot$ $\sin(\Delta\cdot\frac{\omega}{2})}$$
Свертка сигналов u(t) и v(t) представляет собой трапецию:
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$ = $\begin{cases}
0,&\text{если $t\leqslant -\frac{\Delta+T}{2}$;}\\
AB(\frac{\Delta+T}{2}+t),&\text{если $-\frac{\Delta+T}{2}\leqslant t \leqslant -\frac{\Delta-T}{2}$;}\\
ABT,&\text{если $-\frac{\Delta-T}{2}\leqslant t \leqslant \frac{\Delta-T}{2}$;}\\
AB(\frac{\Delta+T}{2}-t),&\text{если $ \frac{\Delta-T}{2}\leqslant t \leqslant \frac{\Delta+T}{2}$;}\\
0,&\text{если $t\geqslant \frac{\Delta+T}{2}$.}
\end{cases}$
Если пока я всё правильно понимаю, то прямое преобразование Фурье от этой "трапеции" должно быть равно произведению $U(\omega)$\cdot$V($\omega$)=$\frac{4AB}{\omega^2}$\cdot$ $\sin(T\cdot\frac{\omega}{2})$\cdot$ $\sin(\Delta\cdot\frac{\omega}{2})}$$
Но у меня никак не получается. Интегралы берутся, но кроме произведения синусов там получается ещё два крупных слагаемых, которые никак не хотят взаимоуничтожаться. Фурье преобразование трапеции наберу потом, это очень долго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение31.01.2023, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Imedved в сообщении #1579648 писал(а):
Фурье интегралы
Вы так называете фурье-трансформанту?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение31.01.2023, 23:11 


06/02/16
13
Да. Операцию которая противоставляет функции f(t) функцию
$$F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot e^{-i\omega t}dt$$
Эту штуку некорректно называть интегралом Фурье?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение31.01.2023, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Интегралом Фурье - да, а наоборот это просто какой-то "генерал товарищ" получается. Понять можно, но так не говорят.

Теперь по сути вопроса: теорема, разумеется, работает. Ищите ошибку в своих выкладках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение01.02.2023, 00:42 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Imedved)

Ваш $\TeX$ неплох, но не идеален.
Сравните вид:
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$
$u(t)*v(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(\tau)\,v(t-\tau)\,d\tau$
Сравните код:
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$
$u(t)*v(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(\tau)\,v(t-\tau)\,d\tau$
Знаки доллара должны быть в начале и в конце формулы, но не в середине.
Точка в качестве знака умножения чисел в 99% случаев не нужна.
Я вставил небольшие (и необязательные) пробелы между множителями в подынтегральной функции, код \, или \; .

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение01.02.2023, 11:16 


11/07/16
801
Проверим с Математикой (в ней иной множитель перед интегралом)
Код:
tr=FourierTransform[Piecewise[{{A*B*(\[CapitalDelta]/2+T/2+t),t>-\[CapitalDelta]/2-T/2&&t<=-\[CapitalDelta]/2+T/2},{A*B*T,t>-\[CapitalDelta]/2+T/2&&t<=\[CapitalDelta]/2-T/2},{A*B*(\[CapitalDelta]/2+T/2-t),t>\[CapitalDelta]/2-T/2&&t<=\[CapitalDelta]/2+T/2},{0,True}}],t,\[Omega]];
FullSimplify[tr, Assumptions -> \[CapitalDelta] > 0 && T > 0 && \[CapitalDelta] > T]

-((A B E^(-(1/2) I (T + \[CapitalDelta]) \[Omega]) (-1 + E^(  I T \[Omega])) (-1 + E^(I \[CapitalDelta] \[Omega])))/
( Sqrt[2 \[Pi]] \[Omega]^2))

$-\frac{A B \left(-1+e^{i \Delta  \omega }\right) \left(-1+e^{i T \omega }\right) e^{-\frac{1}{2} i \omega  (\Delta +T)}}{\sqrt{2 \pi } \omega ^2}$
Сошлось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение01.02.2023, 16:57 


06/02/16
13
Напишите, пожалуйста, нормально, как берёте интеграл. Можно картинку PrtSc экрана. Просто я беру интеграл в MathCad и он не такой, какой должен быть.

-- 01.02.2023, 18:35 --

Свертка (трапеция) верно построена?
Если да, то вот результат её интегрирования. Причем не в ручную, а аналитическими вычислениями в MathCad. Вручную тоже считал, получилось то же самое.
$$\int\limits_{-\frac{\Delta+T}{2}}^{-\frac{\Delta-T}{2}}(\frac{\Delta+T}{2}+t)\cos(\omega t)dt +\int\limits_{-\frac{\Delta-T}{2}}^{\frac{\Delta-T}{2}}T \cos(\omega t)dt + \int\limits_{\frac{\Delta-T}{2}}^{\frac{\Delta+T}{2}}(\frac{\Delta+T}{2}-t)\cos(\omega t)dt\to \frac{4}{\omega^2}\sin(\frac{T\omega}{2})\sin(\frac{\Delta\omega}{2}) - $$

$$\  - \frac{2T}{\omega}\sin(\frac{T \omega}{2}-\frac{\Delta \omega}{2})+\frac{2T}{\omega}\sin(\frac{T \omega}{2})\cos(\frac{\Delta\omega}{2})- \frac{2T}{\omega}\sin(\frac{\Delta \omega}{2})\cos(\frac{T\omega}{2})$$

Верхняя строчка - то, что надо, а нижние члены явная лажа, причём они никуда деваться и обнуляться не хотят. И они в сумме никак не дают ноль, по крайне мере при $T\ne\Delta$, а являют собой вполне себе функцию от $\omega$

-- 01.02.2023, 18:37 --

За свой набор формул тоже извиняюсь, но это мой четвёртый или пятый пост на форуме за 5 лет, так что и такой набор дается мне с трудом.

Всё, разобрался. Обнуляются эти три члена. Последние 2 синус разности. Не знаю, два дня проверял, ошибку найти не мог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение06.02.2023, 20:14 


14/02/20
832
Imedved в сообщении #1579741 писал(а):
Верхняя строчка - то, что надо, а нижние члены явная лажа, причём они никуда деваться и обнуляться не хотят. И они в сумме никак не дают ноль, по крайне мере при $T\ne\Delta$, а являют собой вполне себе функцию от $\omega$

А вы вынесите множитель $\frac {2T}{\omega}$ за скобки во "второй строке" (он же все равно неважен, если это ноль, правильно?), а дальше в скобках мысленно или реально временно замените $\frac {T\omega}2=a$ и $\frac{\Delta \omega}2=b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение06.02.2023, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
artempalkin
Imedved в сообщении #1579741 писал(а):
Всё, разобрался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение06.02.2023, 20:17 


14/02/20
832
artempalkin в сообщении #1580527 писал(а):
Всё, разобрался. Обнуляются эти три члена. Последние 2 синус разности. Не знаю, два дня проверял, ошибку найти не мог.


Ага, ну да.

Хотел немного прокомментировать

Imedved в сообщении #1579648 писал(а):
Допустим u(t) и v(t) два абсолютно интегрируемых сигнала, имеющие U($\omega$) и V($\omega$) Фурье интегралы соответственно. Произведение U($\omega$)$\cdot$ V($\omega$) должно являться Фурье интегралом от свертки
u(t)*v(t)=$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$u($\tau$)$\cdot$v(t-$\tau$)d$\tau$.


Верно, если один из сигналов финитный. В остальных случаях - не знаю.

-- 06.02.2023, 20:18 --

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1580528 писал(а):
Всё, разобрался.
Да, бывает же, такие вещи не замечаешь :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не работает теорема о свертке?
Сообщение06.02.2023, 21:18 
Аватара пользователя


11/11/22
304
artempalkin в сообщении #1580530 писал(а):
Верно, если один из сигналов финитный. В остальных случаях - не знаю.

в остальных тоже верно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group