Обобщим утверждение задачи. Рассмотрим множество чисел, представимых в виде

, где

--- фиксированное число (все переменные здесь целые числа,

или

). Тогда целое число

принадлежит рассматриваемому множеству тогда и только тогда, когда все простые числа

, для которых сравнение

не имеет решений, входят в разложение

на простые в чётной степени.
Докажем это. Пусть

,

свободно от квадратов и сравнение

имеет решения для всех

. Рассмотрим числа вида

. При

,

, получим искомое представление числа

. При этом, можно подобрать

и

так, что

. Это следует из китайской теоремы об остатках.
Предположим, что некоторое простое число

входит в разложение

на простые в нечётной степени и сравнение

не имеет решений. Предположим, что

. Домножим на

.

Заметим, что

не делится на

, так как в противном случае из

следовала бы разрешимость сравнения

. Таким образом в левую часть рассматриваемого равенства

входит в чётной степени, а в правую в нечётной, что невозможно.
Несколько выделяется случай

. Здесь от

нужно дополнительно потребовать, чтобы двойка в разложение на простые входила в чётной степени.