Интересное неравенство

[TR63]

arqady, спасибо за информацию. Правда, я по английски ни бе, ни ме.
Ваш результат для $n>3$, если он верен, то мне очень интересен, т.к. он не опровергает моих гипотетических рассуждений.

[TR63]

В связи с результатом arqady у меня возник вопрос, который я сформулирую в виде задачи.

Задача.

Имеется две формулировки:
1). Результат arqady (как я его поняла).
Для доказательства неравенства при любых натуральных $1<n<11$ достаточно доказать его для $x_1=x_2=...=x_{n-1}$, $x_n=n-(n-1)x_1$.
2). Мой гипотетический результат, полученный путём (см. оффтоп)

(Оффтоп)

полученный путём деления на не пересекающиеся классы с остатком, равным единице... Нюансы опускаю, т.к. данная гипотеза частично (пока; до обнаружения ошибки, видимо) отправлена в Пургаторий. Это означает её абсурдность. Но мы люди простые, и для достижения (даже приближения к ) цели все средства хороши.

Для доказательства неравенства при произвольных натуральных $0<n<11$ достаточно доказать его при $x_1=x_2=...=x_n$.

Вопрос: при каких $n$ обе формулировки эквивалентны? (Или так: при каких $n$ можно обойтись без ссылки на английский источник?)

Мой ответ, следующий из логических, а не гипотетических рассуждений, я могу дать в явном виде только для некоторых $n$. Но это не полный ответ на поставленный вопрос. Приветствуется как полное, так и частичное решение проблемы.

Для положительных $(a_1,...,a_n)$ с условием $a_1+a_2+...+a_n=n$ при каких $(n)$
неравенство

$$\frac{1}{a_1^2}+...+\frac{1}{a_n^2}\ge a_1^2+...+a_n^2$$

достаточно доказать при $x_1=x_2=...=x_n$.

[Rak so dna]

arqady в сообщении #1228057 писал(а):

Для положительных $a$, $b$ и $c$, для которых $(a+b+c)(ab+ac+bc)^{18}=3^{19}$ докажите, что

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

Максимальное $k$ для которого при $(a+b+c)(ab+ac+bc)^{k}=3^{k+1}$ верно $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$ для положительных $a$, $b$ и $c$:

$k=\frac{2x^5-x^4+5x^3+5x^2+5x+2}{2x^4-10x^2-6x-4}\approx 18.4592476563...$

здесь $x\approx 18.5391840196...$ - корень уравнения

$x(x^2+2)(2x^2+1)\ln{\frac{2x^2+1}{x^2(x^2+2)}}+2(2x+1)(x^4-x^3+3x^2+x+2)\ln{(2x+1)}+4(x+2)(x^3-2x^2-x-1)\ln{(x+2)} = 2(x-1)(2x^4+3x^3+8x^2+3x+2)\ln{3}$