Задача № 4 из ЕГЭ

[Klein]

mihaild в сообщении #1579942 писал(а):

Klein в сообщении #1579939 писал(а):

Событие $A$ - первое появление числа $-1$ в последовательности

Это не событие. Событие - это то, что может произойти, а может не произойти, а что такое "произошло первое появление числа $-1$ в последовательности" - непонятно.

А еще ответ очевидно не меньше $q$, т.к. мы можем сразу пойти налево.

Это то что дано в условии задачи "Найти вероятность первого появления в этой последовательности числа (-1)
Одно из определений Теоремы Байеса.

Теорема Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие.

По теореме событие произошло priori.
Подозреваю именно этим способом предлагают школьникам найти вероятность, а не суммированием последовательности на бесконечности.

[mihaild]

Klein в сообщении #1579948 писал(а):

Это то что дано в условии задачи "Найти вероятность первого появления в этой последовательности числа (-1)

И это тоже неграмотно написано.

Теорема Байеса - это по сути переформулировка определения условной вероятности. Её, естественно, можно использовать при решении задачи, но нужно четко сказать, вероятности чего при каких условиях мы считаем.

В общем, Ваш текст не является решением задачи, а полученное Вами число, очевидно, не является правильным ответом. Чтобы можно было указать, в чем конкретно у Вас ошибка, нужно, чтобы Вы дали четкие определения используемым событиям (пока что ошибка в отсутствии таких определений).

[Klein]

mihaild в сообщении #1579951 писал(а):

Klein в сообщении #1579948 писал(а):

Это то что дано в условии задачи "Найти вероятность первого появления в этой последовательности числа (-1)

И это тоже неграмотно написано.

Теорема Байеса - это по сути переформулировка определения условной вероятности. Её, естественно, можно использовать при решении задачи, но нужно четко сказать, вероятности чего при каких условиях мы считаем.

В общем, Ваш текст не является решением задачи, а полученное Вами число, очевидно, не является правильным ответом. Чтобы можно было указать, в чем конкретно у Вас ошибка, нужно, чтобы Вы дали четкие определения используемым событиям (пока что ошибка в отсутствии таких определений).

Ответ видимо неверный.
Решение представлено вышей не из школьной программы. Каким образом будет решать задачу школьник в течении ограниченного времени изучая предмет по школьной программе?
Определение вероятностей несколько. Наиболее известные – частотная и байесовская. В последней присутствует априорное событие.
Задачу решали исходя из условий в задаче на время и знаниями из школьной программы. Условная вероятность, байесовская теорема.
Подождем решение из школьной программы.

-- 03.02.2023, 02:53 --

Я так и не понял, что @mihaild не устроило с заведомо наступившим событием?

8-9 класс
ОБ УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ В ШКОЛЕ
Вероятность наступления события при условии, что какое-то событие заведомо наступило, называется условной вероятностью.
https://ptlab.mccme.ru/sites/ptlab.mccm ... tnosti.pdf

Школьники с условной вероятностью знакомятся в 8-9 классах. ))

[Руст]

Более подходящая формулировка задачи:
Игрок имеет 1р и ставит каждый раз 1р на кон. Выигрывает с вероятностью р 1р и с вероятностью 1-р проигрывает.
Если ничего ставит на кон - выбывает как разорившийся. Какова вероятность проигрыша?

Меня тоже смутило сочетание первый раз и я пошел считать вероятности $p_n$ - первый раз попадание в -1 на 2n+1 -ом ходу.
Так вероятность проигрыша обозначим через $y$ и получаем квадратное уравнение

$$y=q+py^2, \to y=\frac{1-\sqrt{1-4pq}}{2p}=\frac{min(p,q)}{p}.$$

[mihaild]

Klein в сообщении #1579963 писал(а):

Определение вероятностей несколько. Наиболее известные – частотная и байесовская.

Это подходы к статистике. Определение вероятности в них одно.

Klein в сообщении #1579963 писал(а):

Я так и не понял, что @mihaild не устроило с заведомо наступившим событием?

С каким еще "заведомо наступившим событием"?

[juna]

У меня вероятность получить -1 через $2n+1$ шагов получилась:

$$\binom{2n+1}{n+1}q^{n+1}p^{n}$$

И что-то мне подсказывает, что это простой Бернулли (теорема о повторении опытов).
Проверил на всякий случай на питоне, все сходится:

import random
import math
m = 100000
n = 5
count = 0
for i in range(m):
    h = 0
    for j in range(n):
        p = random.randint(1,19)
        if p <= 10:
            h += 1
        else:
            h -= 1
    if h == -1:
        count += 1
print(count/m)
l = (n - 1) // 2
p = 10/19
q = 9/19
print(math.comb(2*l+1,l+1)*q**(l+1)*p**(l)) 

[mihaild]

juna в сообщении #1579988 писал(а):

У меня вероятность получить -1 через $2n+1$ шагов получилась

А нам нужна вероятность попасть в $-1$ через $2n + 1$ шагов первый раз (чтобы потом эти вероятности просуммировать).

[Руст]

Когда считаем первый раз возникает числа Каталана как
сумма по всем возможным словам, где $n$ раз $p$ и $n+1$ раз $q$, причем
до шага $2n$ включительно количество $p$ (играющих роль открывающих слов) не меньше количества $q$,
играющих роль закрывающих скобок.

[juna]

mihaild в сообщении #1579993 писал(а):

А нам нужна вероятность попасть в $-1$ через $2n + 1$ шагов первый раз (чтобы потом эти вероятности просуммировать).

Вроде как от каждой -1 на $2n-1$ шаге получаем по две -1 на $2n+1$ шаге, значит на $2n+1$ шаге всего $\binom{2n+1}{n+1}-2\binom{2n-1}{n-1}$ новых -1, т.е. вероятность встретить -1 первый раз на $2n+1$ шаге равна:

$$\left(\binom{2n+1}{n+1}-2\binom{2n-1}{n-1}\right)q^{n+1}p^{n}=\binom{2n}{n-1}q^{n+1}p^{n}$$

Не так?

[zykov]

juna
Catalan number

[juna]

zykov в сообщении #1580006 писал(а):

juna
Catalan number

$$\binom{2n}{n-1}$$

Не совсем Каталан, а умноженный на $n$. Наверное что-то не учёл.

[zykov]

Там кроме стандартного $C_n=\frac {1}{n+1}{2n \choose n}$ есть ещё $C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}$.
Так что возможны разные формы.

[juna]

zykov в сообщении #1580030 писал(а):

Там кроме стандартного $C_n=\frac {1}{n+1}{2n \choose n}$ есть ещё $C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}$.
Так что возможны разные формы.

Вот я и говорю:

juna в сообщении #1580009 писал(а):

Не совсем Каталан, а умноженный на $n$.

$$\binom{2n}{n-1}=\binom{2n}{n+1}=\frac{n}{n+1}\binom{2n}{n}=n\cdot C_n$$

Просто там сложнее должен быть учет: старые -1 приходят не только от -1, полученных на $(2n-1)$ шаге, но и от -1, полученных на $(2n-3)$ шаге и т.д..
Получаем такую рекуррентную формулу для чисел Каталана $C_n$:

$$C_n=\frac{1}{n}\binom{2n}{n-1}=\binom{2n+1}{n+1}-2\cdot \sum_{k=0}^{n-1}C_k\cdot \binom{2(n-k)-1}{n-k}$$

И вероятность встретить -1 на $2n+1$ шаге первый раз, конечно же:

$$p_{2n+1}=C_n\cdot q^{n+1}p^n$$

-- Пт фев 03, 2023 11:51:13 --

juna в сообщении #1580053 писал(а):

$$C_n=\binom{2n+1}{n+1}-2\cdot \sum_{k=0}^{n-1}C_k\cdot \binom{2(n-k)-1}{n-k}$$

Интересно, как эта формула из чего-то известного получается...https://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html

[мат-ламер]

Мне кажется, что эта задача сложноватой будет для четвёртого номера из ЕГЭ. Её бы лучше поместить в раздел С. Я не думаю, что средний школьник, знакомый исключительно со школьной программой и никогда не решавший такие задачи, способен за три минуты додуматься до решения (как тут писали). Если он купил соответствующее пособие по подготовке к ЕГЭ, проработал его и на ЕГЭ будет примерно такая задача, тогда да, он сможет решить её быстро.

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1580209 писал(а):

Мне кажется, что эта задача сложноватой будет для четвёртого номера из ЕГЭ

Да, это какой-то олимпиадный trick. Хотя если показать школьнику, то решит без проблем.

zykov в сообщении #1579727 писал(а):

Если $q \geq p$, то достигнет -1 с вероятностью 1. Тут можно только ставить вопрос о матожидан

Аналогично можно спросить про матожидание количества шагов до первого выпадения -1 при $p<\frac12$.
Решается через тот же trick: $m=(1-p)\cdot 1 + p\cdot(1+m+m)$.
Что даёт $m=\frac{1}{1-2p}$.

PS: задачка для энтузиастов - найти такое же условное матожидание при $p \geq \frac12$ при условнии достижения -1.