Задачи по теории вероятностей

[Alexiii]

1.
Надо доказать,что $P\{B|A\}+P\{B|\overline{A}\}\neq 1 $ ($B|A$-В при условии,что произошло А)
2.
Пусть $\Omega=[0,1]$, $F$ - $\sigma$-алгебра борелевских множеств, $P$ -Лебегова мера на отрезке $\Omega$ и $A=[0,\frac{1}{2}]$. Построить события $B$ и $C$такие,что $P\{B\}=P\{C\}=\frac{1}{2}$,причем события $A, B$ и $C$ независимы в совокупности.

В первой задаче легко показать,что при конкретных условиях между А и В (А=В, А входит в В и т.д.) задача доказана,однако никак не смог доказать и в общем случае,при любых А и В,то есть не разбирая конкретные случаи. Примечу,что так как $P\{B|A\}+P\{\overline{B}|A\}= 1 $,то док-во задачи эквивалентно док-ву того,что $P\{B|\overline{A}\}\neq P\{\overline{B}|A\}$

Во второй задаче есть масса примеров С и В,которые удовлетворяют задаче -,к примеру,-это любые два интервала (или же конечное объединение интервалов) длины 1/2 (общей длины в 1/2) и имеющие в пересечении всех трех А,В,С интервалов длину в 1/8.
Но требуется найти более-менее нетривиальный ответ,то есть ухищренное решение.

Подкиньте,ребята,идейки

Добавлено спустя 35 минут 54 секунды:

Первая задача касается условных вероятностей,вторая - независимости событий!

Добавлено спустя 38 минут 51 секунду:

[Brukvalub]

Alexiii в сообщении #157993 писал(а):

В первой задаче легко показать,что при конкретных условиях между А и В (А=В, А входит в В и т.д.) задача доказана,

Разберите здесь, пожалуйста, случай А=В.

[Alexiii]

Конечно!
Вот:
$P\{A|A\}=\frac{P\{AA\}}{P\{A\}}=\frac{P\{A\}}{P\{A\}}=1$
$P\{A|\overline{A}\}=\frac{P\{A\overline{A}\}}{P\{A\}}=\frac{0}{P\{A\}}=0$
$P\{A|A\}+P\{A|\overline{A}\}=1+0=1$
Да,но вопрос не снят

[Brukvalub]

Alexiii в сообщении #158039 писал(а):

Да,но вопрос не снят

По крайней мере, Вам стало понятно, что от Вас требуют привести контрпример, показывающий, что равенство $P\{B|A\}+P\{B|\overline{A}\}\ = 1$ не всегда верно, а не пытаться доказывать, что оно всегда неверно.

[Henrylee]

Alexiii писал(а):

В первой задаче легко показать,что при конкретных условиях между А и В (А=В, А входит в В и т.д.) задача доказана

Я чего-то не понял. При $A=B$ ведь как раз равенство будет.

добавлено пока писал - опоздал

Alexiii писал(а):

Во второй задаче есть масса примеров С и В,которые удовлетворяют задаче -,к примеру,-это любые два интервала (или же конечное объединение интервалов) длины 1/2 (общей длины в 1/2) и имеющие в пересечении всех трех А,В,С интервалов длину в 1/8.

Вы уверены? Пусть $B=[0,1/4]\cup[3/4,1]$, $C=[0,1/8]\cup[1/2,7/8]$. Они удовлетворяют Вашим условиям, но $A,B,C$ независимыми в совокупности не являются.

[Alexiii]

Henrylee писал(а):

Вы уверены? Пусть $B=[0,1/4]\cup[3/4,1]$, $C=[0,1/8]\cup[1/2,7/8]$. Они удовлетворяют Вашим условиям, но $A,B,C$ независимыми в совокупности не являются.

Простите,я забыл,что независимость системы в совокупности предполагает независимость любой ее подсистемы
Но,все же,много тривиальных решений в вышеуказанных видах,а вопрос состоит в приведений нетривиального решения.

Однако,спасибо за замечание!

[Henrylee]

Alexiii писал(а):

Но,все же,много тривиальных решений в вышеуказанных видах,а вопрос состоит в приведений нетривиального решения.

Тогда приведите хотя бы одно "тривиальное". А то я лично не понимаю, чего Вам такого нетривиального хочется.

Добавлено спустя 14 секунд:

Alexiii писал(а):

Но,все же,много тривиальных решений в вышеуказанных видах,а вопрос состоит в приведений нетривиального решения.

Тогда приведите хотя бы одно "тривиальное". А то я лично не понимаю, чего Вам такого нетривиального хочется... в тривиальной задаче.

[Alexiii]

$B=[0,1/4]\cup[3/4,1]$
$C=[0,1/4]\cup[1/2,3/4]$

[--mS--]

Alexiii писал(а):

$B=[0,1/4]\cup[3/4,1]$
$C=[0,1/4]\cup[1/2,3/4]$

События $A=[0,\,1/2]$, $B$, $C$ не являются независимыми в совокупности.

[Henrylee]

Поэтому опять мимо. Таким образом, "нетривиальным" Вы, по-видимому, называете просто правильный ответ.

[PAV]

Самый "тривиальный" способ решать задачу такой. Указанные события наиболее естественным способом возникают в эксперименте с бросанием трех монеток, имеющим 8 равновероятных элементарных исходов. Разбейте отрезок $[0,1]$ на 8 равных частей и сопоставьте их этим исходам, учитывая данное условие на событие $A$.

[Alexiii]

Henrylee писал(а):

Таким образом, "нетривиальным" Вы, по-видимому, называете просто правильный ответ.

Да,нет! Я просто не проверил тройку на независимость в спехе,только пары проверил!
Вот один из правильных ответов:
$B=[0,1/4]\cup[3/4,1]$
$C=[0,1/8]\cup[3/8,1/2]\cup[5/8,7/8]$
На сей раз без промаха