Ряд Фурье

[VASILISK11]

Подскажите, производная от функции не совпадает с производной от ее разложения в ряд Фурье, только для тригонометрического базиса или для всех базисов?

[mihaild]

Уточните вопрос, пожалуйста. Существует куча функций, для которых стандартный ряд Фурье можно почленно дифференцировать (ЕМНИП у любой кусочно гладкой, для которой значения на концах совпадают).

[VASILISK11]

Например, если функцию $f(x)=e^x$ разложить в ряд Тейлора, потом взять производную этого ряда, то получиться такой же ряд. Если экспоненту разложить в тригонометрический ряд Фурье, на каком-то интервале, то производная этого ряда будет другим рядом. Наверное, потому что уже не будет выполнятся равенство Парсеваля, полученный ряд будет расходится.
Я не силен в математике, случайно наткнулся на данный факт, стало интересно, насколько это общее правило для ряда Фурье.

[Утундрий]

VASILISK11 в сообщении #1579490 писал(а):

Если экспоненту разложить в тригонометрический ряд Фурье, на каком-то интервале, то производная этого ряда будет другим рядом.

Покажите здесь.

[EUgeneUS]

VASILISK11 в сообщении #1579490 писал(а):

Если экспоненту разложить в тригонометрический ряд Фурье, на каком-то интервале, то производная этого ряда будет другим рядом.

Экспонента определена на всей числовой оси.
А Вы её раскладываете в ряд Фурье на каком-то интервале.
Ну ок. А как будет продолжена на всю числовую ось, функция, которую Вы раскладываете на интервале?

[VASILISK11]

mihaild в сообщении #1579473 писал(а):

Существует куча функций, для которых стандартный ряд Фурье можно почленно дифференцировать (ЕМНИП у любой кусочно гладкой, для которой значения на концах совпадают).

Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ тоже имеет эту проблему. Исключения только подтверждают правило. Спасибо всем.

[EUgeneUS]

VASILISK11 в сообщении #1579524 писал(а):

Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ тоже имеет эту проблему.

ЕМНИП,
Ряд Фурье сходится поточечно, но не равномерно.
Это приводит к тому, что в случае разрыва функции всегда будет выброс.
Если значения функции не совпадают на концах интервала, то она продолжается (периодически) как разрывная. А значит будет выброс вблизи концов интервала.

Всё тоже самое в случае производной от функции.
Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ продолжается периодически непрерывно. Но её производная на концах интервала будет терпеть разрыв. А значит будет выброс для производной.

[Padawan]

VASILISK11 в сообщении #1579524 писал(а):

Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ тоже имеет эту проблему. Исключения только подтверждают правило. Спасибо всем.

Напишите разложение функций $x^2$ и $2x$ в ряд Фурье на интервале $(-a, a) $. Эти разложения совпадают.

[VASILISK11]

Padawan в сообщении #1579697 писал(а):

VASILISK11 в сообщении #1579524 писал(а):

Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ тоже имеет эту проблему. Исключения только подтверждают правило. Спасибо всем.

Напишите разложение функций $x^2$ и $2x$ в ряд Фурье на интервале $(-a, a) $. Эти разложения совпадают.

Извиняюсь, был не прав, в отличии от ув. mihaild . В частном случае коэффициенты ряда уменьшаются быстрее, чем в общем.
Но уже, как бы закрыл тему, поэтому не исправлял. Главное, что не ошибся в существовании темы, похоже, что для для других базисов она тоже существует.

[EUgeneUS]

VASILISK11 в сообщении #1579709 писал(а):

Главное, что не ошибся в существовании темы

Это почти очевидно.
1. Разложим функцию $f(x)$ в ряд Фурье (на отрезке $[a,b]$) и продифференцируем его почленно. В результате получим ряд Фурье, свободный от "нулевого" постоянного члена.
2. Продифференцируем $f(x)$ и уже потом разложим в ряд Фурье на этом же отрезке. Получим ли мы ряд, свободный от "нулевого" постоянного члена? Совсем необязательно, никто это не гарантирует.
3. А в каким случаях этот член будет нулём? А вот в каких, если

$$\int\limits_{a}^{b} f'(x) dx =0 $$

Или, что тоже самое $f(a) = f(b)$.
Получили озвученный выше критерий.

ЕМНИП. Сойдется ли "производная от ряда Фурье" к самой производной? Поточечно сойдется везде, кроме концов отрезка. Равномерной сходимости не будет.