2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ряд Фурье
Сообщение30.01.2023, 14:09 


29/09/17
214
Подскажите, производная от функции не совпадает с производной от ее разложения в ряд Фурье, только для тригонометрического базиса или для всех базисов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Фурье
Сообщение30.01.2023, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Уточните вопрос, пожалуйста. Существует куча функций, для которых стандартный ряд Фурье можно почленно дифференцировать (ЕМНИП у любой кусочно гладкой, для которой значения на концах совпадают).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Фурье
Сообщение30.01.2023, 18:42 


29/09/17
214
Например, если функцию $f(x)=e^x$ разложить в ряд Тейлора, потом взять производную этого ряда, то получиться такой же ряд. Если экспоненту разложить в тригонометрический ряд Фурье, на каком-то интервале, то производная этого ряда будет другим рядом. Наверное, потому что уже не будет выполнятся равенство Парсеваля, полученный ряд будет расходится.
Я не силен в математике, случайно наткнулся на данный факт, стало интересно, насколько это общее правило для ряда Фурье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Фурье
Сообщение30.01.2023, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
VASILISK11 в сообщении #1579490 писал(а):
Если экспоненту разложить в тригонометрический ряд Фурье, на каком-то интервале, то производная этого ряда будет другим рядом.
Покажите здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Фурье
Сообщение30.01.2023, 19:35 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
VASILISK11 в сообщении #1579490 писал(а):
Если экспоненту разложить в тригонометрический ряд Фурье, на каком-то интервале, то производная этого ряда будет другим рядом.


Экспонента определена на всей числовой оси.
А Вы её раскладываете в ряд Фурье на каком-то интервале.
Ну ок. А как будет продолжена на всю числовую ось, функция, которую Вы раскладываете на интервале?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Фурье
Сообщение30.01.2023, 20:43 


29/09/17
214
mihaild в сообщении #1579473 писал(а):
Существует куча функций, для которых стандартный ряд Фурье можно почленно дифференцировать (ЕМНИП у любой кусочно гладкой, для которой значения на концах совпадают).

Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ тоже имеет эту проблему. Исключения только подтверждают правило. Спасибо всем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Фурье
Сообщение30.01.2023, 21:12 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
VASILISK11 в сообщении #1579524 писал(а):
Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ тоже имеет эту проблему.


ЕМНИП,
Ряд Фурье сходится поточечно, но не равномерно.
Это приводит к тому, что в случае разрыва функции всегда будет выброс.
Если значения функции не совпадают на концах интервала, то она продолжается (периодически) как разрывная. А значит будет выброс вблизи концов интервала.

Всё тоже самое в случае производной от функции.
Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ продолжается периодически непрерывно. Но её производная на концах интервала будет терпеть разрыв. А значит будет выброс для производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Фурье
Сообщение01.02.2023, 11:13 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
VASILISK11 в сообщении #1579524 писал(а):
Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ тоже имеет эту проблему. Исключения только подтверждают правило. Спасибо всем.

Напишите разложение функций $x^2$ и $2x$ в ряд Фурье на интервале $(-a, a) $. Эти разложения совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Фурье
Сообщение01.02.2023, 12:54 


29/09/17
214
Padawan в сообщении #1579697 писал(а):
VASILISK11 в сообщении #1579524 писал(а):
Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-a,a]$ тоже имеет эту проблему. Исключения только подтверждают правило. Спасибо всем.

Напишите разложение функций $x^2$ и $2x$ в ряд Фурье на интервале $(-a, a) $. Эти разложения совпадают.

Извиняюсь, был не прав, в отличии от ув. mihaild . В частном случае коэффициенты ряда уменьшаются быстрее, чем в общем.
Но уже, как бы закрыл тему, поэтому не исправлял. Главное, что не ошибся в существовании темы, похоже, что для для других базисов она тоже существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Фурье
Сообщение01.02.2023, 13:32 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
VASILISK11 в сообщении #1579709 писал(а):
Главное, что не ошибся в существовании темы


Это почти очевидно.
1. Разложим функцию $f(x)$ в ряд Фурье (на отрезке $[a,b]$) и продифференцируем его почленно. В результате получим ряд Фурье, свободный от "нулевого" постоянного члена.
2. Продифференцируем $f(x)$ и уже потом разложим в ряд Фурье на этом же отрезке. Получим ли мы ряд, свободный от "нулевого" постоянного члена? Совсем необязательно, никто это не гарантирует.
3. А в каким случаях этот член будет нулём? А вот в каких, если
$$\int\limits_{a}^{b} f'(x) dx =0 $$
Или, что тоже самое $f(a) = f(b)$.
Получили озвученный выше критерий.

ЕМНИП. Сойдется ли "производная от ряда Фурье" к самой производной? Поточечно сойдется везде, кроме концов отрезка. Равномерной сходимости не будет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group