колебания свободной поверхности жидкости в стакане

[reterty]

Мне давно в голову засела следующая задача: Определить период малых плоских колебаний свободной поверхности жидкости в круглом стакане радуса $R$. Трением жидкости о стенку стакана пренебречь. Я видел пару статей о нормальных модах таких колебаний при различных формах колеблющейся свободной поверхности. Там чистая матфизика. но это не то. Подразумевается, что решение данной задачи должно быть "чисто школьным"....

[sergey zhukov]

reterty
Плоских - в смысле поверхность жидкости все время остается плоской?

[DimaM]

reterty в сообщении #1579288 писал(а):

Подразумевается, что решение данной задачи должно быть "чисто школьным"...

Там разве не Бессель получается? Какое уж тут "чисто школьное"...
Для оценки, думаю, можно $T\sim 4R/v$, где $v$ - скорость волны длиной $\lambda=4R$ (считая, что в поперечнике стакана помещается полволны).

[reterty]

sergey zhukov в сообщении #1579290 писал(а):

reterty
Плоских - в смысле поверхность жидкости все время остается плоской?

да

-- Вс янв 29, 2023 16:23:00 --

DimaM в сообщении #1579293 писал(а):

reterty в сообщении #1579288 писал(а):

Подразумевается, что решение данной задачи должно быть "чисто школьным"...

Там разве не Бессель получается? Какое уж тут "чисто школьное"...
Для оценки, думаю, можно $T\sim 4R/v$, где $v$ - скорость волны длиной $\lambda=4R$ (считая, что в поперечнике стакана помещается полволны).

да , там вроде Бессель. но задача, помнится, давалась на одной из школьных олимпиад. По размерности $\sqrt{R/g}$. Очевидно, составители хотели увидеть возвращающую силу, пропорциональную радиусу стакана

[sergey zhukov]

reterty
По моему, тут все сводится к поиску частоты колебаний жидкости в U - образной трубке. Практически те же методы нужно использовать.

[reterty]

насколько я понимаю, по-школьному можнo пытаться решить только в случае плоского профиля. Может изюминка кроется в отыскании положения центра масс возвышающейся (опущенной) части?

[sergey zhukov]

reterty
Ясно, что решением будут гармонические колебания (по крайней мере для малой амплитуды), а период их должен выражаться, как $T=2\p\sqrt{\frac{m}{k}}$, где $m$ - некоторая эффективная масса. $k=\frac{dF}{dx}$, где $dx$ - перемещение центра тяжести одной из половинок жидкости, $dF$ - соответствующее изменение ее веса. Это, пожалуй, не сложно вычислить.

А вот $m$ определить труднее. Скажем, она зависит от глубины стакана (для достаточно глубокого уже не зависит, конечно).

[мат-ламер]

Извиняюсь за возможно ламерский вопрос. А чем отличается колебание уровня жидкости в стакане от колебания круглой мембраны? Последняя задача классическая и рассмотрена во многих книгах.

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1579345 писал(а):

Извиняюсь за возможно ламерский вопрос. А чем отличается колебание уровня жидкости в стакане от колебания круглой мембраны? Последняя задача классическая и рассмотрена во многих книгах.

Тут поверхность свободная остаётся все время плоской. Меняется лишь её наклон к горизонтали и в случае мембраны колебания упругие а здесь волны гравитационные

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1579347 писал(а):

Тут поверхность свободная остаётся все время плоской.

Спасибо за пояснение! Сразу не дошло. Ну, потенциальную энергию жидкости, наверное, можем вычислить ( в зависимости от уровня поднятия края). Из закона сохранения энергии можем вычислить и кинетическую энергию. Далее можем записать лагранжиан и соответствующее дифференциальное уравнение. Или я усложняю? Вам наверное надо простое школьное решение?

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1579363 писал(а):

reterty в сообщении #1579347 писал(а):

Тут поверхность свободная остаётся все время плоской.

Спасибо за пояснение! Сразу не дошло. Ну, потенциальную энергию жидкости, наверное, можем вычислить ( в зависимости от уровня поднятия края). Из закона сохранения энергии можем вычислить и кинетическую энергию. Далее можем записать лагранжиан и соответствующее дифференциальное уравнение. Или я усложняю? Вам наверное надо простое школьное решение?

потенциальную энергию прдется вычислять через хитро определяемые центры масс кусочков. кроме того, скорости разных точек жидкости разные. это явно затрудняет вычисление общей кинетической энергии системы,..

[Geen]

reterty в сообщении #1579369 писал(а):

скорости разных точек жидкости разные

считаем стакан очень глубоким - пренебрегаем горизонтальной скоростью...

[DimaM]

reterty в сообщении #1579347 писал(а):

Тут поверхность свободная остаётся все время плоской.

А такие колебания вообще возможны?

Geen в сообщении #1579373 писал(а):

считаем стакан очень глубоким - пренебрегаем горизонтальной скоростью...

В волнах на поверхности горизонтальная скорость порядка вертикальной. Из ответа получается, что характерная глубина движущегося слоя порядка диаметра.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1579406 писал(а):

А такие колебания вообще возможны?

Вечером провел опыт со стаканом и немедленно выпил.
Форма поверхности выглядит мениском, но она и в покое так выглядит - это следствие поверхностного натяжения.
Каких-то волн, с длинной волны меньше диаметра стакана (рябь) не наблюдаетися.

-- 30.01.2023, 09:14 --

reterty в сообщении #1579369 писал(а):

потенциальную энергию прдется вычислять через хитро определяемые центры масс кусочков. кроме того, скорости разных точек жидкости разные. это явно затрудняет вычисление общей кинетической энергии системы,..

ИМХО, ничего хитрого там нет, но муторно.
Вычислать кинетическую энергию не нужно.
ИМХО, для "школьного решения" достаточно принять, что при достижении максимума потенциальной энергии кинетическая - ноль (нет движущихся элементов воды).

[reterty]

Мне почему то все больше и больше нравится решение DimaM. Вместо скорости следует подставить выражение для скорости волн на глубокой воде. Может тогда и получится в точности искомый корень Бесселя в качестве коэффициента.