Линейная комбинация констант.

[Maxim19]

Всем здравствуйте, думаю над одной штукой и стало интересно, можно ли умножив константу пи на рациональное число получить константу е? Не сталкивался даже с похожими вопросами, поэтому не могу подобраться к доказательству. Можете просто сказать да или нет, ну и немного подсказку, как доказать.

-- 26.01.2023, 17:55 --

Думал сначала, что вдруг можно получить любое иррациональное число умножив рациональное на иррациональное, но потом вспомнил, хоть и не очень в этом шарю, что мера Лебега рациональных чисел нулевая, и значит наверное мера Лебега пи на рациональные тоже нулевая и как бы значит, что очень как то не реалистично, что в этой нулевой мере попадётся число е.

[svv]

Открытые проблемы

[mihaild]

Этого никто не знает - вопрос открыт. Сравнительно недавно (в 1996) доказали, что $\frac{\pi}{e^\pi}$ иррационально (ваш вопрос эквивалентен вопросу о рациональности $\frac{\pi}{e}$).
Классический результат в этой области - теорема Линдеманна, в английской вики есть относительно элементарное доказательство. Но самостоятельно до него додуматься, даже с подсказками, вряд ли получится.

Maxim19 в сообщении #1578912 писал(а):

Думал сначала, что вдруг можно получить любое иррациональное число умножив рациональное на иррациональное

На фиксированное иррациональное - нельзя, тут даже мера не нужна, мощности достаточно. На произвольное - конечно можно, любое иррациональное число $\alpha$ является произведением рационального числа $1$ и иррационального $\alpha$.

[Maxim19]

Понятно, печально

-- 26.01.2023, 18:06 --

Но думаю, что стоит ожидать, что их отношение будет иррациональным?