2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диофантово уравнение y^2 - x^3 = - b^3 - 4a^2
Сообщение25.01.2023, 15:25 


21/04/22
330
Пусть целые числа $a, b$ таковы, что $a$ не делится на 3 и $b \equiv 1 \pmod{4}$. Пусть уравнение
$$y^2 - x^3 = -b^3 - 4a^2$$ имеет решение в целых числах. Докажите, что $p^2 \mid a$ для некоторого простого $p \equiv 7 \pmod{12}$.

 Профиль  
                  
 
 Опечатка?
Сообщение25.01.2023, 16:15 
Аватара пользователя


21/01/23

159
Запорожье
А здесь не может быть опечатки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение y^2 - x^3 = - b^3 - 4a^2
Сообщение25.01.2023, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
mathematician123 в сообщении #1578729 писал(а):
Пусть...
Если в условии много различных "пусть", может случиться, что одно противоречит другому, и тогда пусть доказывают. Дайте плз. численный пример разрешимости уравнения, или это секрет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение y^2 - x^3 = - b^3 - 4a^2
Сообщение25.01.2023, 17:25 


21/04/22
330
Iosafat в сообщении #1578737 писал(а):
А здесь не может быть опечатки?

Где? Я опечатки не вижу.
Andrey A в сообщении #1578743 писал(а):
Если в условии много различных "пусть", может случиться, что одно противоречит другому, и тогда пусть доказывают. Дайте плз. численный пример разрешимости уравнения, или это секрет?

Примера у меня нет. Могу попробовать найти.

P. S. попробовал, не нашёл. Возможно, что решений нет. Возможно, что это уравнение не имеет решений вообще, но я не умею это доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Ошибка в условии?
Сообщение25.01.2023, 17:30 
Аватара пользователя


21/01/23

159
Запорожье
mathematician123 Что-то я не могу решить, если не решаема, может - ошибка в условии? А ответ может быть отрицательным?

-- 25.01.2023, 17:27 --

Без дополнительных условий, наверно так:
Код:
{i=0; r1=-101; r2=-1;
    for(x=r1, r2,
    for(y=r1, r2,
    for(a=r1, r2,
    for(b=r1, r2,
       if(y^2+x^3==-b^3-4*a^2, i++;
         print(i, " | ", y,"²+",x,"³=","-",b,"³-4*",a,"²"))))))}

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение y^2 - x^3 = - b^3 - 4a^2
Сообщение25.01.2023, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
mathematician123 в сообщении #1578744 писал(а):
... но я не умею это доказывать.
Давайте попробуем.
mathematician123 в сообщении #1578729 писал(а):
$$y^2 - x^3 = -b^3 - 4a^2$$
В правой части нечетное по условию, значит $x,y$ разной четности. Перепишем это так: $$y^2+(2a)^2=x^3-b^3.$$ Если $x$ четное, то в правой части $3 \pmod 4$ по условию, а в левой сумма двух квадратов. Противоречие. Значит $x$ нечетное, $y$ четное.
$x \equiv 3 \pmod 4$ быть не может, поскольку в правой (а значит и в левой) части образуется удвоенное нечетное, а это сумма двух нечетных квадратов и только таких. Опять противоречие. Остается $x \equiv 1 \pmod 4$. Тогда $x^3-b^3=(x-b)(x^2+bx+b^2)$, и все переменные $\equiv 1 \pmod 4$. $x^2+bx+b^2 \equiv 1+1+1\equiv 3\pmod 4.$ Но суммы двух квадратов не имеют делителей вида $4k+3.$
Я, правда, исходил из предположения, что основания кубов положительные числа. Почему-то. Но в этого в условии нет — вот и додумайте остальное.

 Профиль  
                  
 
 Ответ
Сообщение25.01.2023, 19:00 
Аватара пользователя


21/01/23

159
Запорожье
Код:
1 | -90²+-34³=--20³-4*-99²
2 | -72²+-34³=--14³-4*-96²
3 | -15²+-34³=--5³-4*-99²
4 | -77²+-32³=--21³-4*-95²
5 | -74²+-32³=--18³-4*-91²
6 | -50²+-32³=--18³-4*-95²
7 | -50²+-32³=--2³-4*-87²
8 | -48²+-32³=--8³-4*-88²
9 | -35²+-32³=--21³-4*-101²
10 | -48²+-31³=--17³-4*-90²
11 | -48²+-30³=--22³-4*-94²
12 | -28²+-30³=--22³-4*-96²
13 | -95²+-29³=--8³-4*-63²
14 | -69²+-29³=--22³-4*-87²
15 | -49²+-29³=--12³-4*-77²
16 | -49²+-29³=--8³-4*-75²
17 | -21²+-29³=--22³-4*-93²
18 | -97²+-28³=--1³-4*-56²
19 | -96²+-28³=--20³-4*-72²
20 | -91²+-28³=--9³-4*-60²
21 | -78²+-28³=--2³-4*-63²
22 | -72²+-28³=--12³-4*-68²
23 | -61²+-28³=--25³-4*-92²
24 | -54²+-28³=--2³-4*-69²
25 | -24²+-28³=--12³-4*-76²
26 | -18²+-28³=--26³-4*-99²
27 | -7²+-28³=--1³-4*-74²
28 | -62²+-26³=--24³-4*-83²
29 | -50²+-26³=--24³-4*-85²
30 | -42²+-26³=--4³-4*-63²
31 | -36²+-26³=--26³-4*-92²
32 | -27²+-26³=--13³-4*-69²
33 | -18²+-26³=--28³-4*-99²
34 | -85²+-25³=--4³-4*-46²
35 | -84²+-25³=--23³-4*-72²
36 | -63²+-25³=--14³-4*-60²
37 | -63²+-25³=--2³-4*-54²
38 | -61²+-25³=--28³-4*-92²
39 | -35²+-25³=--24³-4*-84²
40 | -35²+-25³=--16³-4*-68²
41 | -11²+-25³=--16³-4*-70²
42 | -90²+-24³=--10³-4*-41²
43 | -89²+-24³=--17³-4*-52²
44 | -89²+-24³=--13³-4*-45²
45 | -85²+-24³=--5³-4*-41²
46 | -82²+-24³=--10³-4*-45²
47 | -62²+-24³=--26³-4*-83²
48 | -55²+-24³=--13³-4*-57²
49 | -50²+-24³=--26³-4*-85²
50 | -43²+-24³=--5³-4*-55²
51 | -35²+-24³=--25³-4*-84²
52 | -30²+-24³=--10³-4*-59²
53 | -5²+-24³=--5³-4*-59²
54 | -84²+-23³=--25³-4*-72²
55 | -78²+-23³=--1³-4*-39²
56 | -42²+-23³=--1³-4*-51²
57 | -84²+-22³=--2³-4*-30²
58 | -69²+-22³=--29³-4*-87²
59 | -60²+-22³=--2³-4*-42²
60 | -48²+-22³=--30³-4*-94²
61 | -28²+-22³=--30³-4*-96²
62 | -21²+-22³=--29³-4*-93²
63 | -93²+-21³=--4³-4*-13²
64 | -81²+-21³=--6³-4*-27²
65 | -77²+-21³=--32³-4*-95²
66 | -77²+-21³=--8³-4*-31²
67 | -51²+-21³=--4³-4*-41²
68 | -49²+-21³=--14³-4*-49²
69 | -35²+-21³=--32³-4*-101²
70 | -35²+-21³=--4³-4*-45²
71 | -19²+-21³=--20³-4*-65²
72 | -19²+-21³=--16³-4*-57²
73 | -13²+-21³=--8³-4*-49²
74 | -96²+-20³=--28³-4*-72²
75 | -90²+-20³=--34³-4*-99²
76 | -90²+-20³=--10³-4*-15²
77 | -85²+-20³=--5³-4*-15²
78 | -78²+-20³=--10³-4*-27²
79 | -75²+-20³=--5³-4*-25²
80 | -72²+-20³=--20³-4*-52²
81 | -69²+-20³=--5³-4*-29²
82 | -54²+-20³=--10³-4*-39²
83 | -40²+-20³=--20³-4*-60²
84 | -30²+-20³=--10³-4*-45²
85 | -27²+-20³=--5³-4*-43²
86 | -19²+-20³=--21³-4*-65²
87 | -5²+-20³=--5³-4*-45²
88 | -78²+-19³=--5³-4*-15²
89 | -30²+-19³=--5³-4*-39²
90 | -98²+-18³=--16³-4*-9²
91 | -78²+-18³=--16³-4*-31²
92 | -76²+-18³=--2³-4*-4²
93 | -74²+-18³=--32³-4*-91²
94 | -70²+-18³=--8³-4*-19²
95 | -62²+-18³=--16³-4*-39²
96 | -62²+-18³=--8³-4*-25²
97 | -56²+-18³=--2³-4*-26²
98 | -52²+-18³=--2³-4*-28²
99 | -50²+-18³=--32³-4*-95²
100 | -50²+-18³=--8³-4*-31²
101 | -38²+-18³=--8³-4*-35²
102 | -18²+-18³=--16³-4*-49²
103 | -8²+-18³=--2³-4*-38²
104 | -89²+-17³=--24³-4*-52²
105 | -79²+-17³=--12³-4*-10²
106 | -71²+-17³=--12³-4*-20²
107 | -66²+-17³=--7³-4*-15²
108 | -48²+-17³=--31³-4*-90²
109 | -30²+-17³=--7³-4*-33²
110 | -27²+-17³=--10³-4*-36²
111 | -98²+-16³=--18³-4*-9²
112 | -78²+-16³=--18³-4*-31²
113 | -70²+-16³=--10³-4*-7²
114 | -69²+-16³=--9³-4*-4²
115 | -64²+-16³=--16³-4*-32²
116 | -64²+-16³=--4³-4*-4²
117 | -62²+-16³=--18³-4*-39²
118 | -56²+-16³=--4³-4*-16²
119 | -48²+-16³=--8³-4*-24²
120 | -35²+-16³=--25³-4*-68²
121 | -35²+-16³=--9³-4*-30²
122 | -32²+-16³=--4³-4*-28²
123 | -31²+-16³=--1³-4*-28²
124 | -27²+-16³=--9³-4*-32²
125 | -19²+-16³=--21³-4*-57²
126 | -18²+-16³=--18³-4*-49²
127 | -14²+-16³=--10³-4*-35²
128 | -11²+-16³=--25³-4*-70²
129 | -8²+-16³=--4³-4*-32²
130 | -1²+-16³=--1³-4*-32²
131 | -72²+-14³=--34³-4*-96²
132 | -63²+-14³=--25³-4*-60²
133 | -60²+-14³=--10³-4*-6²
134 | -52²+-14³=--6³-4*-8²
135 | -51²+-14³=--1³-4*-6²
136 | -49²+-14³=--21³-4*-49²
137 | -45²+-14³=--13³-4*-27²
138 | -44²+-14³=--6³-4*-16²
139 | -32²+-14³=--6³-4*-22²
140 | -21²+-14³=--1³-4*-24²
141 | -16²+-14³=--6³-4*-26²
142 | -12²+-14³=--10³-4*-30²
143 | -89²+-13³=--24³-4*-45²
144 | -57²+-13³=--12³-4*-13²
145 | -55²+-13³=--24³-4*-57²
146 | -55²+-13³=--12³-4*-15²
147 | -45²+-13³=--14³-4*-27²
148 | -42²+-13³=--11³-4*-21²
149 | -27²+-13³=--26³-4*-69²
150 | -21²+-13³=--2³-4*-21²
151 | -9²+-13³=--12³-4*-31²
152 | -79²+-12³=--17³-4*-10²
153 | -72²+-12³=--28³-4*-68²
154 | -71²+-12³=--17³-4*-20²
155 | -57²+-12³=--13³-4*-13²
156 | -55²+-12³=--13³-4*-15²
157 | -49²+-12³=--29³-4*-77²
158 | -43²+-12³=--5³-4*-1²
159 | -37²+-12³=--5³-4*-11²
160 | -24²+-12³=--28³-4*-76²
161 | -9²+-12³=--13³-4*-31²
162 | -42²+-11³=--13³-4*-21²
163 | -36²+-11³=--1³-4*-3²
164 | -6²+-11³=--1³-4*-18²
165 | -90²+-10³=--24³-4*-41²
166 | -90²+-10³=--20³-4*-15²
167 | -82²+-10³=--24³-4*-45²
168 | -78²+-10³=--20³-4*-27²
169 | -70²+-10³=--16³-4*-7²
170 | -60²+-10³=--14³-4*-6²
171 | -54²+-10³=--20³-4*-39²
172 | -44²+-10³=--10³-4*-4²
173 | -40²+-10³=--10³-4*-10²
174 | -33²+-10³=--5³-4*-3²
175 | -30²+-10³=--24³-4*-59²
176 | -30²+-10³=--20³-4*-45²
177 | -27²+-10³=--17³-4*-36²
178 | -20²+-10³=--10³-4*-20²
179 | -15²+-10³=--5³-4*-15²
180 | -14²+-10³=--16³-4*-35²
181 | -12²+-10³=--14³-4*-30²
182 | -8²+-10³=--10³-4*-22²
183 | -91²+-9³=--28³-4*-60²
184 | -69²+-9³=--16³-4*-4²
185 | -35²+-9³=--16³-4*-30²
186 | -35²+-9³=--8³-4*-2²
187 | -29²+-9³=--8³-4*-10²
188 | -27²+-9³=--16³-4*-32²
189 | -27²+-9³=--4³-4*-4²
190 | -3²+-9³=--4³-4*-14²
191 | -95²+-8³=--29³-4*-63²
192 | -77²+-8³=--21³-4*-31²
193 | -70²+-8³=--18³-4*-19²
194 | -62²+-8³=--18³-4*-25²
195 | -50²+-8³=--18³-4*-31²
196 | -49²+-8³=--29³-4*-75²
197 | -48²+-8³=--32³-4*-88²
198 | -48²+-8³=--16³-4*-24²
199 | -38²+-8³=--18³-4*-35²
200 | -35²+-8³=--9³-4*-2²
201 | -29²+-8³=--9³-4*-10²
202 | -22²+-8³=--2³-4*-3²
203 | -21²+-8³=--5³-4*-7²
204 | -18²+-8³=--2³-4*-7²
205 | -14²+-8³=--2³-4*-9²
206 | -13²+-8³=--21³-4*-49²
207 | -6²+-8³=--2³-4*-11²
208 | -66²+-7³=--17³-4*-15²
209 | -30²+-7³=--17³-4*-33²
210 | -18²+-7³=--5³-4*-6²
211 | -12²+-7³=--5³-4*-9²
212 | -81²+-6³=--21³-4*-27²
213 | -52²+-6³=--14³-4*-8²
214 | -44²+-6³=--14³-4*-16²
215 | -32²+-6³=--14³-4*-22²
216 | -16²+-6³=--14³-4*-26²
217 | -85²+-5³=--24³-4*-41²
218 | -85²+-5³=--20³-4*-15²
219 | -78²+-5³=--19³-4*-15²
220 | -75²+-5³=--20³-4*-25²
221 | -69²+-5³=--20³-4*-29²
222 | -43²+-5³=--24³-4*-55²
223 | -43²+-5³=--12³-4*-1²
224 | -37²+-5³=--12³-4*-11²
225 | -33²+-5³=--10³-4*-3²
226 | -30²+-5³=--19³-4*-39²
227 | -27²+-5³=--20³-4*-43²
228 | -21²+-5³=--8³-4*-7²
229 | -18²+-5³=--7³-4*-6²
230 | -15²+-5³=--34³-4*-99²
231 | -15²+-5³=--10³-4*-15²
232 | -12²+-5³=--7³-4*-9²
233 | -5²+-5³=--24³-4*-59²
234 | -5²+-5³=--20³-4*-45²
235 | -93²+-4³=--21³-4*-13²
236 | -85²+-4³=--25³-4*-46²
237 | -64²+-4³=--16³-4*-4²
238 | -56²+-4³=--16³-4*-16²
239 | -51²+-4³=--21³-4*-41²
240 | -42²+-4³=--26³-4*-63²
241 | -35²+-4³=--21³-4*-45²
242 | -32²+-4³=--16³-4*-28²
243 | -27²+-4³=--9³-4*-4²
244 | -8²+-4³=--16³-4*-32²
245 | -8²+-4³=--4³-4*-4²
246 | -7²+-4³=--1³-4*-2²
247 | -6²+-4³=--2³-4*-3²
248 | -3²+-4³=--9³-4*-14²
249 | -1²+-4³=--1³-4*-4²
250 | -84²+-2³=--22³-4*-30²
251 | -78²+-2³=--28³-4*-63²
252 | -76²+-2³=--18³-4*-4²
253 | -63²+-2³=--25³-4*-54²
254 | -60²+-2³=--22³-4*-42²
255 | -56²+-2³=--18³-4*-26²
256 | -54²+-2³=--28³-4*-69²
257 | -52²+-2³=--18³-4*-28²
258 | -50²+-2³=--32³-4*-87²
259 | -22²+-2³=--8³-4*-3²
260 | -21²+-2³=--13³-4*-21²
261 | -18²+-2³=--8³-4*-7²
262 | -14²+-2³=--8³-4*-9²
263 | -8²+-2³=--18³-4*-38²
264 | -6²+-2³=--8³-4*-11²
265 | -6²+-2³=--4³-4*-3²
266 | -97²+-1³=--28³-4*-56²
267 | -78²+-1³=--23³-4*-39²
268 | -51²+-1³=--14³-4*-6²
269 | -42²+-1³=--23³-4*-51²
270 | -36²+-1³=--11³-4*-3²
271 | -31²+-1³=--16³-4*-28²
272 | -21²+-1³=--14³-4*-24²
273 | -7²+-1³=--28³-4*-74²
274 | -7²+-1³=--4³-4*-2²
275 | -6²+-1³=--11³-4*-18²
276 | -1²+-1³=--16³-4*-32²
277 | -1²+-1³=--4³-4*-4²

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение y^2 - x^3 = - b^3 - 4a^2
Сообщение25.01.2023, 22:09 


21/04/22
330
mathematician123 в сообщении #1578729 писал(а):
Пусть целые числа $a, b$ таковы, что $a$ не делится на 3 и $b \equiv 1 \pmod{4}$. Пусть уравнение
$$y^2 - x^3 = -b^3 - 4a^2$$ имеет решение в целых числах.

Например
$$ 29106^2 - 1141^3 = -4 \cdot 49^2 - 861^3$$
Andrey A в сообщении #1578756 писал(а):
Но суммы двух квадратов не имеют делителей вида $4k+3.$

Суммы взаимнопростых квадратов

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение y^2 - x^3 = - b^3 - 4a^2
Сообщение26.01.2023, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
mathematician123 в сообщении #1578783 писал(а):
Суммы взаимнопростых квадратов
Да, Вы правы. Пример проходит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group