Диофантово уравнение y^2 - x^3 = - b^3 - 4a^2

[mathematician123]

Пусть целые числа $a, b$ таковы, что $a$ не делится на 3 и $b \equiv 1 \pmod{4}$. Пусть уравнение

$$y^2 - x^3 = -b^3 - 4a^2$$

имеет решение в целых числах. Докажите, что $p^2 \mid a$ для некоторого простого $p \equiv 7 \pmod{12}$.

[Iosafat]

А здесь не может быть опечатки?

[Andrey A]

mathematician123 в сообщении #1578729 писал(а):

Пусть...

Если в условии много различных "пусть", может случиться, что одно противоречит другому, и тогда пусть доказывают. Дайте плз. численный пример разрешимости уравнения, или это секрет?

[mathematician123]

Iosafat в сообщении #1578737 писал(а):

А здесь не может быть опечатки?

Где? Я опечатки не вижу.

Andrey A в сообщении #1578743 писал(а):

Если в условии много различных "пусть", может случиться, что одно противоречит другому, и тогда пусть доказывают. Дайте плз. численный пример разрешимости уравнения, или это секрет?

Примера у меня нет. Могу попробовать найти.

P. S. попробовал, не нашёл. Возможно, что решений нет. Возможно, что это уравнение не имеет решений вообще, но я не умею это доказывать.

[Iosafat]

mathematician123 Что-то я не могу решить, если не решаема, может - ошибка в условии? А ответ может быть отрицательным?

-- 25.01.2023, 17:27 --

Без дополнительных условий, наверно так:

{i=0; r1=-101; r2=-1;
    for(x=r1, r2,
    for(y=r1, r2,
    for(a=r1, r2,
    for(b=r1, r2,
       if(y^2+x^3==-b^3-4*a^2, i++;
         print(i, " | ", y,"²+",x,"³=","-",b,"³-4*",a,"²"))))))}

[Andrey A]

mathematician123 в сообщении #1578744 писал(а):

... но я не умею это доказывать.

Давайте попробуем.

mathematician123 в сообщении #1578729 писал(а):

$$y^2 - x^3 = -b^3 - 4a^2$$

В правой части нечетное по условию, значит $x,y$ разной четности. Перепишем это так:

$$y^2+(2a)^2=x^3-b^3.$$

Если $x$ четное, то в правой части $3 \pmod 4$ по условию, а в левой сумма двух квадратов. Противоречие. Значит $x$ нечетное, $y$ четное.
$x \equiv 3 \pmod 4$ быть не может, поскольку в правой (а значит и в левой) части образуется удвоенное нечетное, а это сумма двух нечетных квадратов и только таких. Опять противоречие. Остается $x \equiv 1 \pmod 4$. Тогда $x^3-b^3=(x-b)(x^2+bx+b^2)$, и все переменные $\equiv 1 \pmod 4$. $x^2+bx+b^2 \equiv 1+1+1\equiv 3\pmod 4.$ Но суммы двух квадратов не имеют делителей вида $4k+3.$
Я, правда, исходил из предположения, что основания кубов положительные числа. Почему-то. Но в этого в условии нет — вот и додумайте остальное.

[Iosafat]

1 | -90²+-34³=--20³-4*-99²
2 | -72²+-34³=--14³-4*-96²
3 | -15²+-34³=--5³-4*-99²
4 | -77²+-32³=--21³-4*-95²
5 | -74²+-32³=--18³-4*-91²
6 | -50²+-32³=--18³-4*-95²
7 | -50²+-32³=--2³-4*-87²
8 | -48²+-32³=--8³-4*-88²
9 | -35²+-32³=--21³-4*-101²
10 | -48²+-31³=--17³-4*-90²
11 | -48²+-30³=--22³-4*-94²
12 | -28²+-30³=--22³-4*-96²
13 | -95²+-29³=--8³-4*-63²
14 | -69²+-29³=--22³-4*-87²
15 | -49²+-29³=--12³-4*-77²
16 | -49²+-29³=--8³-4*-75²
17 | -21²+-29³=--22³-4*-93²
18 | -97²+-28³=--1³-4*-56²
19 | -96²+-28³=--20³-4*-72²
20 | -91²+-28³=--9³-4*-60²
21 | -78²+-28³=--2³-4*-63²
22 | -72²+-28³=--12³-4*-68²
23 | -61²+-28³=--25³-4*-92²
24 | -54²+-28³=--2³-4*-69²
25 | -24²+-28³=--12³-4*-76²
26 | -18²+-28³=--26³-4*-99²
27 | -7²+-28³=--1³-4*-74²
28 | -62²+-26³=--24³-4*-83²
29 | -50²+-26³=--24³-4*-85²
30 | -42²+-26³=--4³-4*-63²
31 | -36²+-26³=--26³-4*-92²
32 | -27²+-26³=--13³-4*-69²
33 | -18²+-26³=--28³-4*-99²
34 | -85²+-25³=--4³-4*-46²
35 | -84²+-25³=--23³-4*-72²
36 | -63²+-25³=--14³-4*-60²
37 | -63²+-25³=--2³-4*-54²
38 | -61²+-25³=--28³-4*-92²
39 | -35²+-25³=--24³-4*-84²
40 | -35²+-25³=--16³-4*-68²
41 | -11²+-25³=--16³-4*-70²
42 | -90²+-24³=--10³-4*-41²
43 | -89²+-24³=--17³-4*-52²
44 | -89²+-24³=--13³-4*-45²
45 | -85²+-24³=--5³-4*-41²
46 | -82²+-24³=--10³-4*-45²
47 | -62²+-24³=--26³-4*-83²
48 | -55²+-24³=--13³-4*-57²
49 | -50²+-24³=--26³-4*-85²
50 | -43²+-24³=--5³-4*-55²
51 | -35²+-24³=--25³-4*-84²
52 | -30²+-24³=--10³-4*-59²
53 | -5²+-24³=--5³-4*-59²
54 | -84²+-23³=--25³-4*-72²
55 | -78²+-23³=--1³-4*-39²
56 | -42²+-23³=--1³-4*-51²
57 | -84²+-22³=--2³-4*-30²
58 | -69²+-22³=--29³-4*-87²
59 | -60²+-22³=--2³-4*-42²
60 | -48²+-22³=--30³-4*-94²
61 | -28²+-22³=--30³-4*-96²
62 | -21²+-22³=--29³-4*-93²
63 | -93²+-21³=--4³-4*-13²
64 | -81²+-21³=--6³-4*-27²
65 | -77²+-21³=--32³-4*-95²
66 | -77²+-21³=--8³-4*-31²
67 | -51²+-21³=--4³-4*-41²
68 | -49²+-21³=--14³-4*-49²
69 | -35²+-21³=--32³-4*-101²
70 | -35²+-21³=--4³-4*-45²
71 | -19²+-21³=--20³-4*-65²
72 | -19²+-21³=--16³-4*-57²
73 | -13²+-21³=--8³-4*-49²
74 | -96²+-20³=--28³-4*-72²
75 | -90²+-20³=--34³-4*-99²
76 | -90²+-20³=--10³-4*-15²
77 | -85²+-20³=--5³-4*-15²
78 | -78²+-20³=--10³-4*-27²
79 | -75²+-20³=--5³-4*-25²
80 | -72²+-20³=--20³-4*-52²
81 | -69²+-20³=--5³-4*-29²
82 | -54²+-20³=--10³-4*-39²
83 | -40²+-20³=--20³-4*-60²
84 | -30²+-20³=--10³-4*-45²
85 | -27²+-20³=--5³-4*-43²
86 | -19²+-20³=--21³-4*-65²
87 | -5²+-20³=--5³-4*-45²
88 | -78²+-19³=--5³-4*-15²
89 | -30²+-19³=--5³-4*-39²
90 | -98²+-18³=--16³-4*-9²
91 | -78²+-18³=--16³-4*-31²
92 | -76²+-18³=--2³-4*-4²
93 | -74²+-18³=--32³-4*-91²
94 | -70²+-18³=--8³-4*-19²
95 | -62²+-18³=--16³-4*-39²
96 | -62²+-18³=--8³-4*-25²
97 | -56²+-18³=--2³-4*-26²
98 | -52²+-18³=--2³-4*-28²
99 | -50²+-18³=--32³-4*-95²
100 | -50²+-18³=--8³-4*-31²
101 | -38²+-18³=--8³-4*-35²
102 | -18²+-18³=--16³-4*-49²
103 | -8²+-18³=--2³-4*-38²
104 | -89²+-17³=--24³-4*-52²
105 | -79²+-17³=--12³-4*-10²
106 | -71²+-17³=--12³-4*-20²
107 | -66²+-17³=--7³-4*-15²
108 | -48²+-17³=--31³-4*-90²
109 | -30²+-17³=--7³-4*-33²
110 | -27²+-17³=--10³-4*-36²
111 | -98²+-16³=--18³-4*-9²
112 | -78²+-16³=--18³-4*-31²
113 | -70²+-16³=--10³-4*-7²
114 | -69²+-16³=--9³-4*-4²
115 | -64²+-16³=--16³-4*-32²
116 | -64²+-16³=--4³-4*-4²
117 | -62²+-16³=--18³-4*-39²
118 | -56²+-16³=--4³-4*-16²
119 | -48²+-16³=--8³-4*-24²
120 | -35²+-16³=--25³-4*-68²
121 | -35²+-16³=--9³-4*-30²
122 | -32²+-16³=--4³-4*-28²
123 | -31²+-16³=--1³-4*-28²
124 | -27²+-16³=--9³-4*-32²
125 | -19²+-16³=--21³-4*-57²
126 | -18²+-16³=--18³-4*-49²
127 | -14²+-16³=--10³-4*-35²
128 | -11²+-16³=--25³-4*-70²
129 | -8²+-16³=--4³-4*-32²
130 | -1²+-16³=--1³-4*-32²
131 | -72²+-14³=--34³-4*-96²
132 | -63²+-14³=--25³-4*-60²
133 | -60²+-14³=--10³-4*-6²
134 | -52²+-14³=--6³-4*-8²
135 | -51²+-14³=--1³-4*-6²
136 | -49²+-14³=--21³-4*-49²
137 | -45²+-14³=--13³-4*-27²
138 | -44²+-14³=--6³-4*-16²
139 | -32²+-14³=--6³-4*-22²
140 | -21²+-14³=--1³-4*-24²
141 | -16²+-14³=--6³-4*-26²
142 | -12²+-14³=--10³-4*-30²
143 | -89²+-13³=--24³-4*-45²
144 | -57²+-13³=--12³-4*-13²
145 | -55²+-13³=--24³-4*-57²
146 | -55²+-13³=--12³-4*-15²
147 | -45²+-13³=--14³-4*-27²
148 | -42²+-13³=--11³-4*-21²
149 | -27²+-13³=--26³-4*-69²
150 | -21²+-13³=--2³-4*-21²
151 | -9²+-13³=--12³-4*-31²
152 | -79²+-12³=--17³-4*-10²
153 | -72²+-12³=--28³-4*-68²
154 | -71²+-12³=--17³-4*-20²
155 | -57²+-12³=--13³-4*-13²
156 | -55²+-12³=--13³-4*-15²
157 | -49²+-12³=--29³-4*-77²
158 | -43²+-12³=--5³-4*-1²
159 | -37²+-12³=--5³-4*-11²
160 | -24²+-12³=--28³-4*-76²
161 | -9²+-12³=--13³-4*-31²
162 | -42²+-11³=--13³-4*-21²
163 | -36²+-11³=--1³-4*-3²
164 | -6²+-11³=--1³-4*-18²
165 | -90²+-10³=--24³-4*-41²
166 | -90²+-10³=--20³-4*-15²
167 | -82²+-10³=--24³-4*-45²
168 | -78²+-10³=--20³-4*-27²
169 | -70²+-10³=--16³-4*-7²
170 | -60²+-10³=--14³-4*-6²
171 | -54²+-10³=--20³-4*-39²
172 | -44²+-10³=--10³-4*-4²
173 | -40²+-10³=--10³-4*-10²
174 | -33²+-10³=--5³-4*-3²
175 | -30²+-10³=--24³-4*-59²
176 | -30²+-10³=--20³-4*-45²
177 | -27²+-10³=--17³-4*-36²
178 | -20²+-10³=--10³-4*-20²
179 | -15²+-10³=--5³-4*-15²
180 | -14²+-10³=--16³-4*-35²
181 | -12²+-10³=--14³-4*-30²
182 | -8²+-10³=--10³-4*-22²
183 | -91²+-9³=--28³-4*-60²
184 | -69²+-9³=--16³-4*-4²
185 | -35²+-9³=--16³-4*-30²
186 | -35²+-9³=--8³-4*-2²
187 | -29²+-9³=--8³-4*-10²
188 | -27²+-9³=--16³-4*-32²
189 | -27²+-9³=--4³-4*-4²
190 | -3²+-9³=--4³-4*-14²
191 | -95²+-8³=--29³-4*-63²
192 | -77²+-8³=--21³-4*-31²
193 | -70²+-8³=--18³-4*-19²
194 | -62²+-8³=--18³-4*-25²
195 | -50²+-8³=--18³-4*-31²
196 | -49²+-8³=--29³-4*-75²
197 | -48²+-8³=--32³-4*-88²
198 | -48²+-8³=--16³-4*-24²
199 | -38²+-8³=--18³-4*-35²
200 | -35²+-8³=--9³-4*-2²
201 | -29²+-8³=--9³-4*-10²
202 | -22²+-8³=--2³-4*-3²
203 | -21²+-8³=--5³-4*-7²
204 | -18²+-8³=--2³-4*-7²
205 | -14²+-8³=--2³-4*-9²
206 | -13²+-8³=--21³-4*-49²
207 | -6²+-8³=--2³-4*-11²
208 | -66²+-7³=--17³-4*-15²
209 | -30²+-7³=--17³-4*-33²
210 | -18²+-7³=--5³-4*-6²
211 | -12²+-7³=--5³-4*-9²
212 | -81²+-6³=--21³-4*-27²
213 | -52²+-6³=--14³-4*-8²
214 | -44²+-6³=--14³-4*-16²
215 | -32²+-6³=--14³-4*-22²
216 | -16²+-6³=--14³-4*-26²
217 | -85²+-5³=--24³-4*-41²
218 | -85²+-5³=--20³-4*-15²
219 | -78²+-5³=--19³-4*-15²
220 | -75²+-5³=--20³-4*-25²
221 | -69²+-5³=--20³-4*-29²
222 | -43²+-5³=--24³-4*-55²
223 | -43²+-5³=--12³-4*-1²
224 | -37²+-5³=--12³-4*-11²
225 | -33²+-5³=--10³-4*-3²
226 | -30²+-5³=--19³-4*-39²
227 | -27²+-5³=--20³-4*-43²
228 | -21²+-5³=--8³-4*-7²
229 | -18²+-5³=--7³-4*-6²
230 | -15²+-5³=--34³-4*-99²
231 | -15²+-5³=--10³-4*-15²
232 | -12²+-5³=--7³-4*-9²
233 | -5²+-5³=--24³-4*-59²
234 | -5²+-5³=--20³-4*-45²
235 | -93²+-4³=--21³-4*-13²
236 | -85²+-4³=--25³-4*-46²
237 | -64²+-4³=--16³-4*-4²
238 | -56²+-4³=--16³-4*-16²
239 | -51²+-4³=--21³-4*-41²
240 | -42²+-4³=--26³-4*-63²
241 | -35²+-4³=--21³-4*-45²
242 | -32²+-4³=--16³-4*-28²
243 | -27²+-4³=--9³-4*-4²
244 | -8²+-4³=--16³-4*-32²
245 | -8²+-4³=--4³-4*-4²
246 | -7²+-4³=--1³-4*-2²
247 | -6²+-4³=--2³-4*-3²
248 | -3²+-4³=--9³-4*-14²
249 | -1²+-4³=--1³-4*-4²
250 | -84²+-2³=--22³-4*-30²
251 | -78²+-2³=--28³-4*-63²
252 | -76²+-2³=--18³-4*-4²
253 | -63²+-2³=--25³-4*-54²
254 | -60²+-2³=--22³-4*-42²
255 | -56²+-2³=--18³-4*-26²
256 | -54²+-2³=--28³-4*-69²
257 | -52²+-2³=--18³-4*-28²
258 | -50²+-2³=--32³-4*-87²
259 | -22²+-2³=--8³-4*-3²
260 | -21²+-2³=--13³-4*-21²
261 | -18²+-2³=--8³-4*-7²
262 | -14²+-2³=--8³-4*-9²
263 | -8²+-2³=--18³-4*-38²
264 | -6²+-2³=--8³-4*-11²
265 | -6²+-2³=--4³-4*-3²
266 | -97²+-1³=--28³-4*-56²
267 | -78²+-1³=--23³-4*-39²
268 | -51²+-1³=--14³-4*-6²
269 | -42²+-1³=--23³-4*-51²
270 | -36²+-1³=--11³-4*-3²
271 | -31²+-1³=--16³-4*-28²
272 | -21²+-1³=--14³-4*-24²
273 | -7²+-1³=--28³-4*-74²
274 | -7²+-1³=--4³-4*-2²
275 | -6²+-1³=--11³-4*-18²
276 | -1²+-1³=--16³-4*-32²
277 | -1²+-1³=--4³-4*-4²

[mathematician123]

mathematician123 в сообщении #1578729 писал(а):

Пусть целые числа $a, b$ таковы, что $a$ не делится на 3 и $b \equiv 1 \pmod{4}$. Пусть уравнение

$$y^2 - x^3 = -b^3 - 4a^2$$

имеет решение в целых числах.

Например

$$ 29106^2 - 1141^3 = -4 \cdot 49^2 - 861^3$$

Andrey A в сообщении #1578756 писал(а):

Но суммы двух квадратов не имеют делителей вида $4k+3.$

Суммы взаимнопростых квадратов

[Andrey A]

mathematician123 в сообщении #1578783 писал(а):

Суммы взаимнопростых квадратов

Да, Вы правы. Пример проходит.