А чем Вам аксиома подстановки (замены) не нравится? Она всего лишь утверждает, что если область определения функции является множеством, то и совокупность её значений будет множеством. И эта аксиома не взята с потолка, она необходима для формализации обычных математических рассуждений.
Не нравится тем, что уж очень похожа на неограниченную аксиому свёртывания Кантора. Грубо говоря, это и есть аксиома свёртывания, только с ограничением на мощность.
Очень странное мнение. Мне кажется, у Кантора вообще никаких аксиом не было. И никакого ограничения на мощность в аксиоме подстановки нет: совокупность значений функции на заданном множестве есть множество. Вы хотите, чтобы совокупность значений функции, определённой на каком-нибудь множестве действительных чисел, не была множеством?
P.S. Сколько я не пытался придумать для себя убедительное обоснование непротиворечивости ZFC, так и не получилось.
Так его просто нет. И для арифметики нет. В том числе и для конструктивной.
Профессор Снэйп писал(а):
В схеме индукции не предикаты, а формулы с одной свободной переменной.
Someone писал(а):
К тому же, как писал Профессор Снэйп, в схеме аксиом индукции речь идёт не о предикатах, которых в арифметике Пеано всего один (равенство), а о формулах
Э-ээ... Давайте определимся с терминологией. Разумеется, я говорил о высказывательных формулах с одной свободной переменной.
А почему только с одной? Мне кажется, там такого ограничения нет.
Someone писал(а):
Вообще-то, мне встречалось мнение, что и математическую логику невозможно сформулировать, не имея априорного представления о натуральном ряде. Так что всё ещё хуже.
Любопытно, почему это вдруг? Вроде бы из логических тождеств (исчисления предикатов) аксиомы Пеано невыводимы, т.е. нельзя сказать, что в логике уже содержится арифметика?
Нет, арифметика в логике не содержится. Я ведь говорил не о том, что содержится. Деталей я не знаю. Возможно, имелось в виду, что само понятие слова (в заданном алфавите) трудно определить, не имея никакого представления о натуральных числах.
Someone писал(а):
Сами же в следующей фразе пишете, что не остановились
Но ZFC-то остановилась, в ней понятия класса нет. А NBG, например, это уже другая формальная теория.
Во-первых, небольшое консервативное расширение языка ZFC позволяет говорить о классах. Во-вторых, разница между ZFC и NGB с математической точки зрения невелика, но есть области математики, для которых NGB удобнее. Надобности в дальнейшем расширении я как-то не наблюдаю, хотя я, конечно, знаю очень далеко не всё.
Но теорию множеств, очевидно, можно расширять во многих направлениях (не только в этом). Например, неразрешимость в ней континуум гипотезы доказана, а значит её свободно можно ввести в качестве аксиомы. Или наоборот, ввести нечто противоположное или даже более сложное (что существет ровно одна промежуточная кардинальность, или существует счётная бесконечность промежуточных кардинальностей, или существует не менее чем континуум счётных кардинальностей, или ещё что-нибудь). Всё это - разные варианты расширения теории множеств. И хотя они возможны, но мне непонятно, зачем они нужны.
Я как-то не воспринимаю такие дополнительные аксиомы как расширение теории множеств. Таких "дополнительных" аксиом можно выдумать множество, иногда они позволяют получить интересные результаты. Нужно также иметь в виду, что иногда вполне естественные вопросы, возникающие в математике, оказываются зависимыми от таких "дополнительных" аксиом. Тогда появляются теоремы типа "Если выполняется такое-то утверждение, то...". Но, на мой взгляд, это не очень существенно отличается от обычных теорем, только предположения носят не "локальный", а "глобальный" характер.
Интереснее вопрос о непротиворечивости ZFC - недоказуемый в ZFC факт (если правда), и интуитивно далеко не очевидный (если пытаться в этом разобраться).
Да, непротиворечивость ZFC недоказуема в самой ZFC. Точно так же, как непротиворечивость арифметики Пеано недоказуема в самой арифметике Пеано.
обоснование арифметики хотелось бы видеть в теории, не содержащей арифметику. Ладно, пусть в теории, вводящей схему индукции, не будет хотя бы аксиом индукции
В ZFC и в NGB нет аксиом индукции. В NGB вообще конечное число аксиом.
Недоверие к классическим теориям, конечно, где-то есть, но это не есть сомнение в непротиворечивости, а скорее именно в адекватности реальному миру: Похоже, что классические (неконструктивные) теории способны с уверенностью утверждать много всего такого, что в реальном мире принципиально непроверяемо.
Она базируется на том факте, что ни одно из неконструктивных построений пока что не только не проверено на конкретных примерах, но даже способы проверки не определены. Скажу даже более того: указание способа проверки автоматически сделает неконструктивное построение конструктивным.
Вы, пожалуйста, не путайте математику с физическим миром, в котором нет вообще никаких математических объектов, и не смешите публику, выставляя в качестве оснований конструктивной математики свою способность нарисовать ряд палочек и отличить их потом от крючочков.
В классической математике утверждать существование объекта с заданными свойствами можно сразу, как только указаны его свойства, и до тех пор, пока не доказана их логическая противоречивость. По-моему, с точки зрения здравого смысла такое утверждение является несколько поспешным. В конструктивном анализе существование объекта с заданными свойствами возможно утверждать только после того, как продемонстрирован способ построения конкретного примера такого объекта (причем такой, который непременно завершится успехом).
Неправда. Сформулировав требования к какому-то объекту, существование которого неочевидно, мы можем принять гипотезу, что он существует, и изучать этот объект, пока либо не докажем его существование, либо не докажем, что он существовать не может, либо не докажем недоказуемость того и другого. В последнем случае гипотеза так и останется навсегда гипотезой, которую мы вольны принять или отвергнуть. До получения же доказательства мы должны помнить, что имеем дело с гипотезой. В конструктивной математике ситуация точно такая же. Если Вы думаете, что в конструктивной математике третья ситуация невозможна, то вспомните тезис Чёрча и принцип Маркова.
Ну, это уже вопрос субъективных ценностей. Для меня математика - не просто упражнение (или игра) для ума, а в первую очередь универсальный инструмент науки. По-моему, кого больше интересуют чистые игры ума, тем лучше податься в философию.
Вообще говоря, на "чистые игры ума" в данное время больше похожа именно конструктивная математика. А классическая работает.
вздымщик Цыпа писал(а):
в) в рамках классической математики никто не мешает рассматривать вопросы о существовании конечных алгоритмов, позволяющих находить за конечное число шагов то, что нужно именно так находить.
Ну так это и будет конструктивный анализ
Нет, это не будет конструктивный анализ. Я хотел бы обратить Ваше внимание на то, что предмет Вашего фанатизма называется "конструктивный рекурсивный анализ". А в классической математике существует соответствующая область, именуемая "рекурсивный анализ" и не имеющая непосредственного отношения к конструктивному направлению.
Скажу даже более того: Никто не мешает выходить за рамки конструктивного анализа и прибегать к неконструктивным рассуждениям. Правда конструктивистов может не оказаться в числе заинтересованных читателей...
Вы напрасно так думаете. Сравнение подходов и результатов весьма интересно для любого математика. Для фанатика, конечно, нет. С его точки зрения "противники", несомненно, занимаются ерундой:
Точно так же никто не мешает выходить за рамки математики вообще и прибегать к нестрогим и даже вовсе логически противоречивым или бессмысленным рассуждениям. Правда здесь в числе заинтересованных читателей может не оказаться математиков вообще...
Различия лежат как раз в подходах к тому, откуда берётся аксиоматика. С точки зрения классической математики аксиомы берутся "от верблюда" ( :) ), т.е. что хочу, то и заложу в аксиоматику (до тех пор, пока не возникнет противоречие).
Формально - да. Фактически же построенные по такому принципу теории вымирают, не находя заинтересованных разработчиков и пользователей.
А конструктивный анализ не может заложить в аксиоматику утверждение о существовании объекта до тех пор, пока не указан способ построения его конкретного экземпляра.
Контрпримеры: тезис Чёрча и принцип Маркова.
Видите какая штука: Тратить силы на "изучение" объектов, которые могут оказаться (и с вероятностью 99.999% и окажутся) "произведениями чистого разума", не имеющими никакого отношения к реальности, Вы не считаете зазорным. Ну, это только вопрос субъективных ценностей. Понятное дело, запретить это Вам никто не может.
Видите ли, конструктивная математика имеет к реальному миру точно такое же отношение, как и классическая: ровно никакого. Потому что в мире вообще нет никаких математических объектов, это всё не более чем логические конструкции. Что касается приложений конструктивной математики к исследованию реального мира, то я что-то не слышал о каких-либо особых достижениях в этом деле.
Как хочу так с нулем и ..., а вообще полная неопределенность.
Да, представьте себе: считать ли ноль натуральным числом - вопрос соглашения и удобства. Как мне будет удобно, так я и буду считать. Правда, возможных читателей я предупрежу, какой вариант я выбрал.
P.S. Долго собирался здесь ответить, потому так длинно получилось.