Непротиворечива ли арифметика Пеано?

[shwedka]

Черный Евгений
И, по-прежнему, без малейшей аргументации!!
Нам мозги хоть из пластмасс, ЧЕРНЫЙ думает за нас!

[AD]

Черный Евгений в сообщении #157608 писал(а):

3) Вычитание противоречиво поскольку возможно только при условии "меньшее от большего", или "равное от равного"; Берем камешки и проверяем. Получается или не получается. Следовательно противоречиво.
4) Поскольку деление это ускоренное вычитание, то все тяжелое наследие противоречивости вычитания передается делению. Цыпа, разделить 15 на 3, значит вычитать из 15 по 3 столько раз, сколько это возможно.

Лооооолище. Аффтар не знает, что такое "противоречивость".

[Черный Евгений]

1) Какая нужна аргументация, если здесь не признается опыт? Там где не признается опыт, мне не место.
2) Замечание Цыпы принимаю, оно разрешимо, но ни при нынешнем нетерпимом отношении сторон.
3) Пару слов о том, откуда я возник и почему иду поперек. В свое время, после обнародования Кантором теории бесконечных множеств, Кронеккер воскликнул "Я не позволю превратить математику в сумасшедший дом". Не получилось. Людям больше нравится легкая и непонятная дымка, чем яркий солнечный свет. Я теперь хочу поднять знамя Кронеккера, но со значительно меньшими притязаниями "Я не позволю превратить арифметику натуральных чисел в ...".
Я уже говорил выше, что она мне бесконечно дорога и своей ясностью и способностью рожать противоречия. Что я разумею под противоречием? Предположим два человека решили довериться арифметике в делении монет пополам. Тогда столкнувшись с делением нечетного числа монет, они будут шокированы тем, что арифметика ничем не может помочь им в этом случае. Люди всегда найдут выход, например, поменяют последнюю монету на более мелкие, или отложат до следующего раза. Но арифметика натуральных чисел не знает что делать с остатком. Это я и называю противоречием.
Чем оно мне дорого? Если предположить мир дискретным, или состоящим из натуральных чисел, то это противоречие обязательно в нем проявится, через феномен "неопределенности" или "случайности".

[shwedka]

Черный Евгений в сообщении #157870 писал(а):

1) Какая нужна аргументация, если здесь не признается опыт? Там где не признается опыт, мне не место.

Итак, обосновать свои утверждения коллега не в состоянии. Только провозглашает.Я вот тоже провозглашаю: коллега
Черный Евгений ничего в математике не понимает. По симметрии, от аргументации отказываюсь.

[AGu]

А у меня притязания скромнее: я не позволю превратить двойку {0,1} в сумасшедший дом! На двойке имеется фундаментальная операция умножения (0*0=0*1=1*0=0, 1*1=1), которая непротиворечива, так как основана на опыте. Двойка бесконечно дорога мне и своей ясностью и способностью рожать противоречия. Что я разумею под противоречием? Предположим два человека решили довериться двойке в делении. Тогда столкнувшись с делением на 0, они будут шокированы тем, что двойка ничем не может помочь им в этом случае. Люди всегда найдут выход, например, поменяют 0 на 1, или отложат до следующего раза. Но двойка не знает что делать с делением на 0. Это я и называю противоречием. Чем оно мне дорого? Если предположить мир бинарным, или состоящим из 0 и 1, то это противоречие обязательно в нем проявится, через феномен "неопределенности" или "случайности".

А если мне поставят двойку по математике (физике, философии...), я буду счастлив. Двойка мне бесконечно дорога своей ясностью.

[Черный Евгений]

Agu, у натуральных чисел нет нулей. Только 1,2,3, ...

[AGu]

Черный Евгений писал(а):

Agu, у натуральных чисел нет нулей. Только 1,2,3, ...

И это здорово! Ведь это в очередной раз доказывает противоречивость арифметики! Столкнувшись с вычитанием "2 минус 2" люди будут шокированы тем, что арифметика ничем не может помочь им в этом случае. Люди, конечно, найдут выход, например, поменяют "2 минус 2" на "2 минус 1" или отложат до следующего раза. Но арифметика не знает, что делать с вычитанием "2 минус 2". Это я называю противоречием. Чем мне оно дорого? Если предположить мир не имеющим нуля, то это противоречие обязательно проявится через феномен "неопределенности" или "случайности".

[Yarkin]

Черный Евгений в сообщении #157918 писал(а):

Agu, у натуральных чисел нет нулей. Только 1,2,3, ...

Это Вы так считаете. Понятно. Новичок Форума.

[bot]

Черный Евгений сообщении #157870 писал(а):

Замечание Цыпы

Эй ты, послушай, что за фамильярность? Ты куда пришёл? Знамя он подбирать собрался. Сопли подбери!

Yarkin в сообщении #158146 писал(а):

Это Вы так считаете. Понятно. Новичок Форума.

Ну есть много далеко не новичков, которые не придерживаются этого соглашения, а есть и прагматики - к ним себя отношу. С понедельника по среду у меня в натуральном ряду нуля нет, в четверг есть, в пятницу снова нету, а к вечеру я сам ноль, в выходные уж как повезёт - могу с рыбалки нуль принести, а могу и поболе ...

[Yarkin]

bot в сообщении #158163 писал(а):

С понедельника по среду у меня в натуральном ряду нуля нет, в четверг есть, в пятницу снова нету, а к вечеру я сам ноль, в выходные уж как повезёт - могу с рыбалки нуль принести, а могу и поболе .

Как хочу так с нулем и ..., а вообще полная неопределенность.

[Someone]

маткиб писал(а):

Someone в сообщении #155214 писал(а):

А чем Вам аксиома подстановки (замены) не нравится? Она всего лишь утверждает, что если область определения функции является множеством, то и совокупность её значений будет множеством. И эта аксиома не взята с потолка, она необходима для формализации обычных математических рассуждений.

Не нравится тем, что уж очень похожа на неограниченную аксиому свёртывания Кантора. Грубо говоря, это и есть аксиома свёртывания, только с ограничением на мощность.

Очень странное мнение. Мне кажется, у Кантора вообще никаких аксиом не было. И никакого ограничения на мощность в аксиоме подстановки нет: совокупность значений функции на заданном множестве есть множество. Вы хотите, чтобы совокупность значений функции, определённой на каком-нибудь множестве действительных чисел, не была множеством?

маткиб писал(а):

P.S. Сколько я не пытался придумать для себя убедительное обоснование непротиворечивости ZFC, так и не получилось.

Так его просто нет. И для арифметики нет. В том числе и для конструктивной.

epros писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

В схеме индукции не предикаты, а формулы с одной свободной переменной.

Someone писал(а):

К тому же, как писал Профессор Снэйп, в схеме аксиом индукции речь идёт не о предикатах, которых в арифметике Пеано всего один (равенство), а о формулах

Э-ээ... Давайте определимся с терминологией. Разумеется, я говорил о высказывательных формулах с одной свободной переменной.

А почему только с одной? Мне кажется, там такого ограничения нет.

epros писал(а):

Someone писал(а):

Вообще-то, мне встречалось мнение, что и математическую логику невозможно сформулировать, не имея априорного представления о натуральном ряде. Так что всё ещё хуже.

Любопытно, почему это вдруг? Вроде бы из логических тождеств (исчисления предикатов) аксиомы Пеано невыводимы, т.е. нельзя сказать, что в логике уже содержится арифметика?

Нет, арифметика в логике не содержится. Я ведь говорил не о том, что содержится. Деталей я не знаю. Возможно, имелось в виду, что само понятие слова (в заданном алфавите) трудно определить, не имея никакого представления о натуральных числах.

epros писал(а):

Someone писал(а):

Сами же в следующей фразе пишете, что не остановились

Но ZFC-то остановилась, в ней понятия класса нет. А NBG, например, это уже другая формальная теория.

Во-первых, небольшое консервативное расширение языка ZFC позволяет говорить о классах. Во-вторых, разница между ZFC и NGB с математической точки зрения невелика, но есть области математики, для которых NGB удобнее. Надобности в дальнейшем расширении я как-то не наблюдаю, хотя я, конечно, знаю очень далеко не всё.

epros писал(а):

Но теорию множеств, очевидно, можно расширять во многих направлениях (не только в этом). Например, неразрешимость в ней континуум гипотезы доказана, а значит её свободно можно ввести в качестве аксиомы. Или наоборот, ввести нечто противоположное или даже более сложное (что существет ровно одна промежуточная кардинальность, или существует счётная бесконечность промежуточных кардинальностей, или существует не менее чем континуум счётных кардинальностей, или ещё что-нибудь). Всё это - разные варианты расширения теории множеств. И хотя они возможны, но мне непонятно, зачем они нужны.

Я как-то не воспринимаю такие дополнительные аксиомы как расширение теории множеств. Таких "дополнительных" аксиом можно выдумать множество, иногда они позволяют получить интересные результаты. Нужно также иметь в виду, что иногда вполне естественные вопросы, возникающие в математике, оказываются зависимыми от таких "дополнительных" аксиом. Тогда появляются теоремы типа "Если выполняется такое-то утверждение, то...". Но, на мой взгляд, это не очень существенно отличается от обычных теорем, только предположения носят не "локальный", а "глобальный" характер.

маткиб в сообщении #154946 писал(а):

Интереснее вопрос о непротиворечивости ZFC - недоказуемый в ZFC факт (если правда), и интуитивно далеко не очевидный (если пытаться в этом разобраться).

Да, непротиворечивость ZFC недоказуема в самой ZFC. Точно так же, как непротиворечивость арифметики Пеано недоказуема в самой арифметике Пеано.

epros в сообщении #155304 писал(а):

обоснование арифметики хотелось бы видеть в теории, не содержащей арифметику. Ладно, пусть в теории, вводящей схему индукции, не будет хотя бы аксиом индукции

В ZFC и в NGB нет аксиом индукции. В NGB вообще конечное число аксиом.

epros в сообщении #155304 писал(а):

Недоверие к классическим теориям, конечно, где-то есть, но это не есть сомнение в непротиворечивости, а скорее именно в адекватности реальному миру: Похоже, что классические (неконструктивные) теории способны с уверенностью утверждать много всего такого, что в реальном мире принципиально непроверяемо.

epros в сообщении #155760 писал(а):

Она базируется на том факте, что ни одно из неконструктивных построений пока что не только не проверено на конкретных примерах, но даже способы проверки не определены. Скажу даже более того: указание способа проверки автоматически сделает неконструктивное построение конструктивным.

Вы, пожалуйста, не путайте математику с физическим миром, в котором нет вообще никаких математических объектов, и не смешите публику, выставляя в качестве оснований конструктивной математики свою способность нарисовать ряд палочек и отличить их потом от крючочков.

epros в сообщении #155760 писал(а):

В классической математике утверждать существование объекта с заданными свойствами можно сразу, как только указаны его свойства, и до тех пор, пока не доказана их логическая противоречивость. По-моему, с точки зрения здравого смысла такое утверждение является несколько поспешным. В конструктивном анализе существование объекта с заданными свойствами возможно утверждать только после того, как продемонстрирован способ построения конкретного примера такого объекта (причем такой, который непременно завершится успехом).

Неправда. Сформулировав требования к какому-то объекту, существование которого неочевидно, мы можем принять гипотезу, что он существует, и изучать этот объект, пока либо не докажем его существование, либо не докажем, что он существовать не может, либо не докажем недоказуемость того и другого. В последнем случае гипотеза так и останется навсегда гипотезой, которую мы вольны принять или отвергнуть. До получения же доказательства мы должны помнить, что имеем дело с гипотезой. В конструктивной математике ситуация точно такая же. Если Вы думаете, что в конструктивной математике третья ситуация невозможна, то вспомните тезис Чёрча и принцип Маркова.

epros в сообщении #155760 писал(а):

Ну, это уже вопрос субъективных ценностей. Для меня математика - не просто упражнение (или игра) для ума, а в первую очередь универсальный инструмент науки. По-моему, кого больше интересуют чистые игры ума, тем лучше податься в философию.

Вообще говоря, на "чистые игры ума" в данное время больше похожа именно конструктивная математика. А классическая работает.

epros писал(а):

вздымщик Цыпа писал(а):

в) в рамках классической математики никто не мешает рассматривать вопросы о существовании конечных алгоритмов, позволяющих находить за конечное число шагов то, что нужно именно так находить.

Ну так это и будет конструктивный анализ

Нет, это не будет конструктивный анализ. Я хотел бы обратить Ваше внимание на то, что предмет Вашего фанатизма называется "конструктивный рекурсивный анализ". А в классической математике существует соответствующая область, именуемая "рекурсивный анализ" и не имеющая непосредственного отношения к конструктивному направлению.

epros писал(а):

Скажу даже более того: Никто не мешает выходить за рамки конструктивного анализа и прибегать к неконструктивным рассуждениям. Правда конструктивистов может не оказаться в числе заинтересованных читателей...

Вы напрасно так думаете. Сравнение подходов и результатов весьма интересно для любого математика. Для фанатика, конечно, нет. С его точки зрения "противники", несомненно, занимаются ерундой:

epros писал(а):

Точно так же никто не мешает выходить за рамки математики вообще и прибегать к нестрогим и даже вовсе логически противоречивым или бессмысленным рассуждениям. Правда здесь в числе заинтересованных читателей может не оказаться математиков вообще...

epros писал(а):

Различия лежат как раз в подходах к тому, откуда берётся аксиоматика. С точки зрения классической математики аксиомы берутся "от верблюда" ( :) ), т.е. что хочу, то и заложу в аксиоматику (до тех пор, пока не возникнет противоречие).

Формально - да. Фактически же построенные по такому принципу теории вымирают, не находя заинтересованных разработчиков и пользователей.

epros писал(а):

А конструктивный анализ не может заложить в аксиоматику утверждение о существовании объекта до тех пор, пока не указан способ построения его конкретного экземпляра.

Контрпримеры: тезис Чёрча и принцип Маркова.

epros писал(а):

Видите какая штука: Тратить силы на "изучение" объектов, которые могут оказаться (и с вероятностью 99.999% и окажутся) "произведениями чистого разума", не имеющими никакого отношения к реальности, Вы не считаете зазорным. Ну, это только вопрос субъективных ценностей. Понятное дело, запретить это Вам никто не может.

Видите ли, конструктивная математика имеет к реальному миру точно такое же отношение, как и классическая: ровно никакого. Потому что в мире вообще нет никаких математических объектов, это всё не более чем логические конструкции. Что касается приложений конструктивной математики к исследованию реального мира, то я что-то не слышал о каких-либо особых достижениях в этом деле.

Yarkin в сообщении #158346 писал(а):

Как хочу так с нулем и ..., а вообще полная неопределенность.

Да, представьте себе: считать ли ноль натуральным числом - вопрос соглашения и удобства. Как мне будет удобно, так я и буду считать. Правда, возможных читателей я предупрежу, какой вариант я выбрал.

P.S. Долго собирался здесь ответить, потому так длинно получилось.

[маткиб]

Someone писал(а):

маткиб писал(а):

Someone в сообщении #155214 писал(а):

А чем Вам аксиома подстановки (замены) не нравится? Она всего лишь утверждает, что если область определения функции является множеством, то и совокупность её значений будет множеством. И эта аксиома не взята с потолка, она необходима для формализации обычных математических рассуждений.

Не нравится тем, что уж очень похожа на неограниченную аксиому свёртывания Кантора. Грубо говоря, это и есть аксиома свёртывания, только с ограничением на мощность.

Очень странное мнение. Мне кажется, у Кантора вообще никаких аксиом не было. И никакого ограничения на мощность в аксиоме подстановки нет: совокупность значений функции на заданном множестве есть множество. Вы хотите, чтобы совокупность значений функции, определённой на каком-нибудь множестве действительных чисел, не была множеством?

Аксиома Кантора говорит, что для любого свойства существует множество всех объектов, удовлетворяющих этому свойству. Такая аксиома приводит ко всяким противоречиям (парадоксу Рассела). А аксиома подстановки (если рассуждать очень грубо и философски и не учитывать чисто технических возможностей, которые она дает) говорит, что если мощность совокупности всех объектов, удовлетворяющих некоторому свойству, ограничена мощностью некоторого множества, то эта совокупность существует как множество.

Someone писал(а):

маткиб писал(а):

P.S. Сколько я не пытался придумать для себя убедительное обоснование непротиворечивости ZFC, так и не получилось.

Так его просто нет. Для арифметики нет. В том числе и для конструктивной.

Для арифметики непротиворечиость можно доказать с использованием средств, лишь чуть-чуть более сильных, чем сама арифметика. Эти средства лично мне кажутся достаточно убедительными.
Для ZFC нет обоснования в ZFC, но говорить, что его нет вообще, естественно, нельзя.

Есть такое интуитивно убедительное (для кого-то) обоснование. Рассмотрим совокупность всех множеств, которые получаются из $\mathbb{N}$ с помощью операций $2^x$ и объединения (мощность семейства множеств, которые мы объединяем, должна быть ограничена мощностью некоторого уже построенного множества). Мощность объединения всех множеств построенной совокупности будет строго недостижимым кардиналом. На основе строго недостижимого кардинала легко строится модель ZFC.

Но такое обоснование имеет неубедительное место - существование такой совокупности. Западло в этом обосновании такое же, как и в самой ZFC. Думаю, что если с такими доказательствами поработать, то можно привыкнуть, и они будут казаться убедительными.

[Someone]

маткиб в сообщении #158906 писал(а):

А аксиома подстановки (если рассуждать очень грубо и философски и не учитывать чисто технических возможностей, которые она дает) говорит, что если мощность совокупности всех объектов, удовлетворяющих некоторому свойству, ограничена мощностью некоторого множества, то эта совокупность существует как множество.

Нет. Я дважды приводил словесную формулировку аксиомы подстановки, ничего похожего я не говорил. Прежде, чем говорить о мощности совокупности, нужно уже знать, что эта совокупность является множеством. Поэтому в Вашей формулировке получается чушь.

маткиб в сообщении #158906 писал(а):

Аксиома Кантора говорит, что для любого свойства существует множество всех объектов, удовлетворяющих этому свойству.

маткиб в сообщении #158906 писал(а):

Аксиома Кантора говорит, что для любого свойства существует множество всех объектов, удовлетворяющих этому свойству.

Ещё раз: я не видел у Кантора никаких аксиом, но я вовсе не утверждаю, что мой поиск был исчерпывающим. В одной из работ у него есть пояснение:

Георг Кантор писал(а):

Под "множеством" мы понимаем соединение в некое целое $M$ определённых хорошо различимых предметов $m$ нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться "элементами" множества $M$).

Я как-то не склонен это воспринимать как аксиому ввиду крайней неопределённости. Можно предположить, что он согласен называть множеством произвольную совокупность каких угодно различимых объектов, какую только можно вообразить. И вообще говорить об аксиомах в неаксиоматической теории несколько странно.

Может быть, Вы укажете ссылку на упоминаемую Вами аксиому по сборнику трудов Кантора?

Георг Кантор. Труды по теории множеств. Москва, "Наука", 1985.

То пояснение, о котором я говорю, имеется в самом начале работы "К обоснованию учения о трансфинитных множествах", которая в сборнике имеет номер 10.

маткиб в сообщении #158906 писал(а):

Но такое обоснование имеет неубедительное место - существование такой совокупности. Западло в этом обосновании такое же, как и в самой ZFC. Думаю, что если с такими доказательствами поработать, то можно привыкнуть, и они будут казаться убедительными.

Это "обоснование" ZFC, как и в случае арифметики, использует средства, которые также лишь чуть-чуть сильнее самой ZFC. Ситуация с обоснованием арифметики и теории множеств совершенно одинаковая, если забыть, что ZFC существенно сильнее арифметики: это обоснование невозможно в самой теории и требует более сильной теории, которая, в свою очередь, находится в точно таком же положении и для своего обоснования требует ещё более сильной теории, и так далее. "Окончательное" обоснование, видимо, невозможно. Мне кажется непонятным, почему Вы считаете "обоснование" арифметики с помощью более сильной теории более убедительным, чем аналогичное "обоснование" теории множеств: эта теория содержит в себе арифметику, и если арифметика противоречива, то "обосновывающая" её теория тоже противоречива.

[epros]

Someone писал(а):

epros писал(а):

Э-ээ... Давайте определимся с терминологией. Разумеется, я говорил о высказывательных формулах с одной свободной переменной.

А почему только с одной? Мне кажется, там такого ограничения нет.

В данном конкретном случае я говорил о формулах с одной свободной переменной. Вообще говоря, естественно, существуют и многоместные предикаты (и формулы с несколькими свободными переменными).

Someone писал(а):

Возможно, имелось в виду, что само понятие слова (в заданном алфавите) трудно определить, не имея никакого представления о натуральных числах.

Я вообще не слышал о том, чтобы слово в заданном алфавите как-то определялось. По-моему, его следует трактовать как базовое неопределяемое понятие.

Someone писал(а):

Надобности в дальнейшем расширении я как-то не наблюдаю, хотя я, конечно, знаю очень далеко не всё.

Вероятно мне не постичь почему "надобность" в расширении до ZFC и далее до NGB имелась, а дальше - уже нет.

Someone писал(а):

Я как-то не воспринимаю такие дополнительные аксиомы как расширение теории множеств. Таких "дополнительных" аксиом можно выдумать множество, иногда они позволяют получить интересные результаты. Нужно также иметь в виду, что иногда вполне естественные вопросы, возникающие в математике, оказываются зависимыми от таких "дополнительных" аксиом. Тогда появляются теоремы типа "Если выполняется такое-то утверждение, то...". Но, на мой взгляд, это не очень существенно отличается от обычных теорем, только предположения носят не "локальный", а "глобальный" характер.

С формальной точки зрения добавление аксиомы - это изменение теории. Ибо формальная теория определяется в частности своей аксиоматикой. Если Вы намерены расширить понятие теории таким образом, чтобы теории не менялись от таких расширений (например, ввести какое-нибудь понятие "содержательной теории" в противовес "формальной теории"), то чтобы это не осталось чистой философией, Вам придётся как-то формализовать правила таких "непринципиальных расширений".

Someone писал(а):

epros в сообщении #155304 писал(а):

обоснование арифметики хотелось бы видеть в теории, не содержащей арифметику. Ладно, пусть в теории, вводящей схему индукции, не будет хотя бы аксиом индукции

В ZFC и в NGB нет аксиом индукции. В NGB вообще конечное число аксиом.

Не обязательно, чтобы это была именно аксиома. Это может быть выводимое утверждение (теорема). Насколько я знаю, любая аксиома из схемы индукции выводима в ZFC. Если не ошибаюсь, в этом выводе существенным является использование схемы аксиом выделения.

Someone писал(а):

Вы, пожалуйста, не путайте математику с физическим миром, в котором нет вообще никаких математических объектов, и не смешите публику, выставляя в качестве оснований конструктивной математики свою способность нарисовать ряд палочек и отличить их потом от крючочков.

Я не понял, в чём я "спутал" математику с физическим миром? Теории - это теории, а реальность - это другое дело. Но речь идёт о том, что у теорий может быть или может не быть применений к реальности. И что Вас насмешило в способности "нарисовать" и "отличить" палочки и крючочки? Абстракции конструктивной математики придумал не я. О них тот же Марков писал.

Someone писал(а):

Неправда. Сформулировав требования к какому-то объекту, существование которого неочевидно, мы можем принять гипотезу, что он существует, и изучать этот объект, пока либо не докажем его существование, либо не докажем, что он существовать не может, либо не докажем недоказуемость того и другого. В последнем случае гипотеза так и останется навсегда гипотезой, которую мы вольны принять или отвергнуть. До получения же доказательства мы должны помнить, что имеем дело с гипотезой. В конструктивной математике ситуация точно такая же. Если Вы думаете, что в конструктивной математике третья ситуация невозможна, то вспомните тезис Чёрча и принцип Маркова.

В таком случае вся математика, начиная с теории множеств или с арифметики, это сплошная "гипотеза", ибо непротиворечивость этих теорий не доказана. Т.е. получается, что утверждение о существовании "множества" или "натурального числа" мы принимаем на веру.

В конструктивной математике ситуация такая, но не совсем. Например, упомянутые выше абстракции конструктивной математики действительно принимаются на веру, это не отрицается и не маскируется псевдообоснованиями. Это та точка, до которой должна быть доведена формализация, но дальше которой она не идёт. Т.е. мы не пытаемся обосновать нашу способность различить строки символов или, скажем, выделить заданную подстроку из строки символов. Но все иные утверждения, в том числе утверждения о существовании соответствующего объекта, должны быть обоснованы способностью построить соответствующую строку (т.е. наличием алгоритма, который это сделает).

Касательно тезиса Чёрча: Он есть просто ни что иное, как определение конструктивности функции. Понятие "интуитивно вычислимой функции" неформализованное, поэтому можно сколько угодно предполагать нарушение тезиса Чёрча (т.е. существование интуитивно вычислимой, но рекурсивно невычислимой функции), но эта функция не будет иметь конструктивного определения.

Someone писал(а):

Вообще говоря, на "чистые игры ума" в данное время больше похожа именно конструктивная математика. А классическая работает.

Этой точки зрения мне тоже никак не понять. Почему-то из того факта, что большее количество математиков лучше знакомо с "классической" математикой, чем с конструктивным анализом, (а на самом деле они просто редко интересуются основаниями математики вообще) делается вывод, что "работает" именно классическая математика. Но при этом я не вижу конкретных примеров того, как "работает" неконструктивная часть математики. Например, есть мой любимый вывод о существовании нелинейной аддитивной функции. Как он "работает"? Вот мы с одним Кишинёвским математиком месяц дискутировали о том, выводится ли СТО из двух постулатов. Как оказалось, формальная трудность заключается в том, что в постулатах ничего не сказано про непрерывность преобразований координат пространства-времени хотя бы в одной точке. Аддитивность преобразований легко выводится из постулатов и первого закона Ньютона, а вот следует ли отсюда линейность? Как оказалось, для размерности пространства-времени два и больше - следует, хотя вывод довольно нетривиален. А вот в одномерном случае - нет, нужно дополнительное допущение - о той самой непрерывности хотя бы в одной точке. В конструктивной математике такой проблемы не возникает, поскольку с её точки зрения нелинейное аддитивное преобразование - это просто нонсенс, неопределимое понятие. Если мы знаем, что контруктивно определено некое аддитивное преобразование, то оно автоматически является линейным.

Вопрос: кто здесь "работает", а кто нет?

Someone писал(а):

epros писал(а):

вздымщик Цыпа писал(а):

в) в рамках классической математики никто не мешает рассматривать вопросы о существовании конечных алгоритмов, позволяющих находить за конечное число шагов то, что нужно именно так находить.

Ну так это и будет конструктивный анализ

Нет, это не будет конструктивный анализ. Я хотел бы обратить Ваше внимание на то, что предмет Вашего фанатизма называется "конструктивный рекурсивный анализ". А в классической математике существует соответствующая область, именуемая "рекурсивный анализ" и не имеющая непосредственного отношения к конструктивному направлению.

Не поясните тонкости различий?

Someone писал(а):

Вы напрасно так думаете. Сравнение подходов и результатов весьма интересно для любого математика. Для фанатика, конечно, нет. С его точки зрения "противники", несомненно, занимаются ерундой:

Ох, опять эти обвинения в "фанатизме"... Я же не намекаю на Ваш "фанатизм" в связи с Вашим необъяснимиым пристрастием к двузначной логике. Сравнение подходов и результатов кому-то интересно, а кому-то нет. Не надо обобщать. Есть множество математиков, которые никогда не лезут в чужую область. Возможно потому, что они тоже считают, что их коллеги "занимаются ерундой", и это их законное право - до тех пор, пока это остаётся сугубо их личным мнением.

Someone писал(а):

epros писал(а):

Различия лежат как раз в подходах к тому, откуда берётся аксиоматика. С точки зрения классической математики аксиомы берутся "от верблюда" ( ), т.е. что хочу, то и заложу в аксиоматику (до тех пор, пока не возникнет противоречие).

Формально - да. Фактически же построенные по такому принципу теории вымирают, не находя заинтересованных разработчиков и пользователей.

Что-то арифметика и теория множеств пока никак не вымрут...

Цитата:

epros писал(а):

А конструктивный анализ не может заложить в аксиоматику утверждение о существовании объекта до тех пор, пока не указан способ построения его конкретного экземпляра.

Контрпримеры: тезис Чёрча и принцип Маркова.

Не согласен, что тезис Чёрча - контрпример. Где здесь утверждение о существовании объекта (функции?) для которого(ой) не указан способ построения конкретного экземпляра? И принцип Маркова тут причём?

Кстати, заметьте, я не утверждаю, что в самих основаниях конструктивного анализа нет таких утверждений. Они есть. Таковы, например, утверждения о существовании "строк символов" и базовых неопределяемых операций над ними (например, Марков в качестве единственной базовой операции предложил поиск и замену подстроки). Но отличия конструктивного анализа в том, что этих утверждений конечное количество, все они изначально оговорены и приняты как "очевидные". Это значит, что больше в аксиоматику мы не имеем права заложить никаких "очевидных" утверждений. В отличие от классического подхода, который допускает возможность неограниченного разрастания "очевидного" (т.е. необоснованного).

[маткиб]

Someone в сообщении #158928 писал(а):

маткиб в сообщении #158906 писал(а):Аксиома Кантора говорит, что для любого свойства существует множество всех объектов, удовлетворяющих этому свойству.

Ещё раз: я не видел у Кантора никаких аксиом, но я вовсе не утверждаю, что мой поиск был исчерпывающим.

Я не утверждаю, что это было именно у Кантора. Возможно, кто-то (Фреге, например) пытался формализовать идеи Кантора, и аксиома появилась у него. Можно поискать в яндексе "неограниченная аксиома свертывания", довольно много ссылок выдается, и там везде упоминается про Кантора.

Someone в сообщении #158928 писал(а):

маткиб в сообщении #158906 писал(а):А аксиома подстановки (если рассуждать очень грубо и философски и не учитывать чисто технических возможностей, которые она дает) говорит, что если мощность совокупности всех объектов, удовлетворяющих некоторому свойству, ограничена мощностью некоторого множества, то эта совокупность существует как множество.

Нет. Я дважды приводил словесную формулировку аксиомы подстановки, ничего похожего я не говорил. Прежде, чем говорить о мощности совокупности, нужно уже знать, что эта совокупность является множеством. Поэтому в Вашей формулировке получается чушь.

Поясню, что я имел в виду.
Если формализовать неограниченную аксиому свертывания (приводящую к противоречиям), то получится что-то типа
$(\exists B)(\forall x)(x\in B\leftrightarrow\varphi(x))$, где $\varphi(x)$ - формула.

Аксиома подстановки имеет такой вид:
$(\forall x)(x\in A\rightarrow (\exists !y)\varphi(x,y))\rightarrow(\exists B)(\forall y)(y\in B\leftrightarrow(\exists x)(x\in A\&\varphi(x,y)))$.

И та, и другая аксиома говорит о том, что из свойства (формулы) можно "сделать" множество, причем и там, и там элементы множества могут быть "где угодно в универсуме" (т.е. не ограничены каким-то заданным множеством, как в аксиоме выделения).

Отличие (по сути) только в том, что в аксиоме подстановки за каждым элементом получаемого множества (B) закреплен "номер" - элемент множества A, причем каждый элемент A дает не более одного элемента B. В некотором смысле это и есть ограничение на мощность: $|B|\leq |A|$.

Someone писал(а):

Мне кажется непонятным, почему Вы считаете "обоснование" арифметики с помощью более сильной теории более убедительным, чем аналогичное "обоснование" теории множеств: эта теория содержит в себе арифметику, и если арифметика противоречива, то "обосновывающая" её теория тоже противоречива.

Интуитивно небольшое расширение арифметики кажется ближе к реальному миру, к человеческому опыту, чем расширение ZFC. Поэтому и кажется убедительнее (хотя кому-то кажется по-другому).