Непротиворечива ли арифметика Пеано?

[AGu]

epros писал(а):

AGu писал(а):

Совпадение двух множеств (слов) -- это, как мне всегда казалось, утверждение в рамках теории множеств. В какой же еще теории его доказывать, как не в (мета)теории множеств?

Это Вы привели формулировку в терминах множеств. А я задал вопрос о существовании предиката, для которого не определена аксиома индукции. Ответ "нет" на него подразумевает сведение к противоречию предположения о существовании и не требует привлечения понятия "множество", т.е. каких бы то ни было теоретико-множественных аксиом.

Ага. Но нам все равно не отвертеться от выбора теории, в которой предстоит доказывать это существование. А по традиции эта (мета)теория -- теория множеств (ZF или какая-то ее урезанная версия). Впрочем, думаю, все это и так было понятно.

epros писал(а):

Но осталась ещё одна вещь, которая меня беспокоит: Мы определяем аксиоматику арифметики в метатеории, которая сама использует арифметику. Это не добавляет арифметике убедительности. Получается, что формализуя понятие натурального числа, мы опираемся на факт существования последовательности аксиом индукции, т.е. опять же на понятие натурального числа (ибо последовательность определяется с использованием понятия натурального числа).

Ну да, все так и есть. Математика начинается с неформальной метатеории, в непротиворечивость которой мы попросту верим. (Во всяком случае, других подходов к формализму я не знаю.) И в этой метатеории присутствуют натуральные числа во всей их (не)полноте. Основы столь же зыбки, сколь прочна наша вера в их прочность. И это всем известно. И все (ну, почти все) с этим мирятся.

epros писал(а):

... А обобщив понятия суперклассов всех возможных уровней, можно ввести какое-нибудь понятие мега-класса... В общем, конца здесь не видно и зачем всё это нужно - тоже непонятно.

Думаю, просто ради любопытства и удовольствия. Развитие подобного рода теорий -- как мне кажется, элитарное искусство. Зачем нужно искусство? Чтобы получать от него удовольствие, наверное. Ну а если это искусство изредка еще и оказывается в чем-то полезным -- удовольствие подкрепляется, так сказать, чувством глубокого удовлетворения трудящихся.

Профессор Снэйп писал(а):

В схеме индукции не предикаты, а формулы с одной свободной переменной.

Ага. Впрочем, не обязательно с одной (но суть не в этом). Просто в этой ветке их стали называть предикатами.

Профессор Снэйп писал(а):

Странно, откуда такое неравнодушие к математической логике? Причём даже не к самой матлогике, а к философской мути, поднятой вокруг неё.

Откуда-откуда... Само собой, от верблюда. Основы зыбки, и верблюда это напрягаяет. Ему даже порой страшновато. И от испуга он... это, того... расслабляется. Например, мне, нелогику, бывает очень приятно расслабиться на почве основ.

[маткиб]

epros в сообщении #155049 писал(а):

маткиб писал(а):Непротиворечива.

Доводы в пользу: конструктивизм - зло.


Интересно, что Вам в нём так не понравилось?


маткиб писал(а):Следствия: можно ей пользоваться


И какое отношение конструктивизм имеет к непротиворечивости арифметики? Мне бы, конечно, было более интересно конструктивное доказательство непротиворечивости арифметики, но и его отсутствие не означает запрет на использование арифметики.

Сообщение писалось в режиме шутки, поэтому просьба близко к сердцу не принимать. Конструктивизм - это прикольно (хотя я в нём и не разбираюсь), но когда ставят его в основание математики, это не есть гут, ИМХО. И причина того, что его пытаются туда ставить, по-моему, как раз в некотором недоверии к классическим теориям, сомнении в их непротиворечивости и адекватности реальному миру.

epros в сообщении #155049 писал(а):

С моей точки зрения ZFC - это всего лишь один из возможных вариантов тупого расширения понятия "множество" на бесконечности разного рода. Почему остановились именно на этом, а не пошли дальше, понять невозможно. Известно, что понятие "множество" можно расширить до понятия "класса" (множество множеств противоречиво, но можно определить класс множеств). Точно так же можно расширить понятие класса до понятия "суперкласса", или далее - до понятия "суперкласса уровня N". А обобщив понятия суперклассов всех возможных уровней, можно ввести какое-нибудь понятие мега-класса... В общем, конца здесь не видно и зачем всё это нужно - тоже непонятно.

В принципе, согласен. Однако, уже на уровне ZFC возникают большие сомнения в осмысленности таких вот построений. Одна аксиома подстановки чего стоит.

А зачем это всё нужно, как раз понятно: каждое расширение даёт новые теоремы в формальной арифметике, которые могут быть полезны для прикладных применений.

[Someone]

Что-то я никак не "врублюсь" в предмет обсуждения.

epros в сообщении #154723 писал(а):

Стандартным выходом из ситуации является использование схемы аксиом вместо одной аксиомы. Но дело в том, что для определения схемы аксиом для теории необходимо сначала пронумеровать все её соответствующие предикаты.

Зачем?

К тому же, как писал Профессор Снэйп, в схеме аксиом индукции речь идёт не о предикатах, которых в арифметике Пеано всего один (равенство), а о формулах:
$(A(0)\&\forall x(A(x)\Rightarrow A(x')))\Rightarrow\forall xA(x)$, где $A$ - формула, в которую переменная $x$ входит свободно (или вообще не входит).

Между прочим, все формулы пронумеровать легко, зная правила их построения: всё, что нужно - это уметь распознавать формулы среди произвольных последовательностей символов алфавита теории. Посмотрев (хотя бы в книге Клини) правила образования формул в языке арифметики Пеано, легко построить алгоритм распознавания, о чём писал и AGu.

epros в сообщении #155049 писал(а):

Получается, что формализуя понятие натурального числа, мы опираемся на факт существования последовательности аксиом индукции, т.е. опять же на понятие натурального числа (ибо последовательность определяется с использованием понятия натурального числа).

Вообще-то, мне встречалось мнение, что и математическую логику невозможно сформулировать, не имея априорного представления о натуральном ряде. Так что всё ещё хуже.

Добавлено спустя 8 минут 1 секунду:

epros в сообщении #155049 писал(а):

И какое отношение конструктивизм имеет к непротиворечивости арифметики? Мне бы, конечно, было более интересно конструктивное доказательство непротиворечивости арифметики, но и его отсутствие не означает запрет на использование арифметики.

В книге Клини "Введение в метаматематику" в § 81 показано, как классические исчисление высказываний, исчисление предикатов и арифметика погружаются в соответствующие интуиционистские теории. Поэтому, если интуиционистские теории непротиворечивы, то непротиворечивы и классические.

Добавлено спустя 4 минуты 1 секунду:

epros в сообщении #155049 писал(а):

С моей точки зрения ZFC - это всего лишь один из возможных вариантов тупого расширения понятия "множество" на бесконечности разного рода. Почему остановились именно на этом, а не пошли дальше, понять невозможно.

Сами же в следующей фразе пишете, что не остановились:

epros в сообщении #155049 писал(а):

Известно, что понятие "множество" можно расширить до понятия "класса" (множество множеств противоречиво, но можно определить класс множеств).

А вот следующее интересно:

epros в сообщении #155049 писал(а):

Точно так же можно расширить понятие класса до понятия "суперкласса", или далее - до понятия "суперкласса уровня N". А обобщив понятия суперклассов всех возможных уровней, можно ввести какое-нибудь понятие мега-класса... В общем, конца здесь не видно и зачем всё это нужно - тоже непонятно.

Никогда ничего подобного не встречал. Может быть, дадите ссылку?

Добавлено спустя 1 час 59 минут 7 секунд:

маткиб в сообщении #155168 писал(а):

Однако, уже на уровне ZFC возникают большие сомнения в осмысленности таких вот построений. Одна аксиома подстановки чего стоит.

А чем Вам аксиома подстановки (замены) не нравится? Она всего лишь утверждает, что если область определения функции является множеством, то и совокупность её значений будет множеством. И эта аксиома не взята с потолка, она необходима для формализации обычных математических рассуждений.

[маткиб]

Someone в сообщении #155214 писал(а):

А чем Вам аксиома подстановки (замены) не нравится? Она всего лишь утверждает, что если область определения функции является множеством, то и совокупность её значений будет множеством. И эта аксиома не взята с потолка, она необходима для формализации обычных математических рассуждений.

Не нравится тем, что уж очень похожа на неограниченную аксиому свёртывания Кантора. Грубо говоря, это и есть аксиома свёртывания, только с ограничением на мощность.

P.S. Сколько я не пытался придумать для себя убедительное обоснование непротиворечивости ZFC, так и не получилось.

[epros]

Профессор Снэйп писал(а):

В схеме индукции не предикаты, а формулы с одной свободной переменной.

Someone писал(а):

К тому же, как писал Профессор Снэйп, в схеме аксиом индукции речь идёт не о предикатах, которых в арифметике Пеано всего один (равенство), а о формулах

Э-ээ... Давайте определимся с терминологией. Разумеется, я говорил о высказывательных формулах с одной свободной переменной. Однако что Вы, господа, называете "предикатом"? Насколько я знаю, предикат - в самом широком смысле это свойство или отношение, определённое для рассматриваемых объектов (одноместный предикат - это именно свойство). В логике предикат - это функция, отображающая объекты теории на логические значения. Правильно ли я понимаю, что Вы имели в виду, что не всякая такая функция записывается формулой теории? Если так, то я такие "предикаты" не рассматриваю, ибо полагаю, что если у функции нет формулы, то этой функции нет (не определена) в теории. Или Вы имели в виду под "предикатом" только такое свойство или отношение, которое является базовым (неопределяемым) понятием теории и для обозначения которого выделен специальный символ (например, равенство в арифметике Пеано или принадлежность в теории множеств)?

Профессор Снэйп писал(а):

Друзья! Вы всегда так бурно развиваете эти темы и такие объёмные сообщения лепите! А я вот всегда вроде и хочу сказать своё веское слово, а потом хоп --- там уже несколько страниц написано и читать их лень. Ну а вдруг там уже написали то, что ты собираешься сказать?

Если хотите сказать, не бойтесь повториться. Не думаю, что если Вы поленились прочитать всё, то это лишает Вас прав комментировать именно то, что привлекло Ваше внимание. Я, например, не обижусь и посылать Вас "прочитать всю тему с начала" не буду: при необходимости всегда можно конкретно сослаться на то место, где имено об этом было сказано.

Профессор Снэйп писал(а):

Странно, откуда такое неравнодушие к математической логике? Причём даже не к самой матлогике, а к философской мути, поднятой вокруг неё.

Не-е, не к философской мути, а именно к самой логике, к основаниям. Даже незначительные возможные изъяны в основаниях здания интересы: а то вдруг строим, строим, а потом всё из-за ма-ахонього изъяна и рухнет. Вероятность маленькая, зато стоимость риска велика.

AGu писал(а):

Но нам все равно не отвертеться от выбора теории, в которой предстоит доказывать это существование.

Бесспорно. Очевидно также, что метатеория на каком-то уровне непременно окажется неформализованной.

AGu писал(а):

А по традиции эта (мета)теория -- теория множеств (ZF или какая-то ее урезанная версия).

А вот традиция эта по-моему неудачная, и к тому же не такая уж давняя. Когда речь идёт об обоснованиях таких фундаментальных вещей, как арифметика, то делать это в рамках более богатой теории как-то странно. Это всё равно что обосновывать равенство 2*2=4 с помощью таблицы умножения.

AGu писал(а):

Математика начинается с неформальной метатеории, в непротиворечивость которой мы попросту верим. (Во всяком случае, других подходов к формализму я не знаю.) И в этой метатеории присутствуют натуральные числа во всей их (не)полноте. Основы столь же зыбки, сколь прочна наша вера в их прочность. И это всем известно. И все (ну, почти все) с этим мирятся.

Наверное, я отношусь к этим "почти". Разумеется, есть какие-то базовые (неопределяемые) понятия, которые мы просто принимаем за очевидные. Просто я считаю, что это надо делать явно, а не маскировать "псевдообоснованиями". Например, понятия "символ", "алфавит" или "строка" по-сути неопределяемы. Если Вы скажете, что "алфавит" - это "множество символов", а символ "принадлежит алфавиту", т.е. попытаетесь определить их с помощью теории множеств, то я, разумеется, напомню Вам, что сама теория множеств формализована с использованием неких символов в некоем алфавите, так что она ни в коем случае не является "первичной" по отношению к этим понятиям.

Так что обоснование арифметики хотелось бы видеть в теории, не содержащей арифметику. Ладно, пусть в теории, вводящей схему индукции, не будет хотя бы аксиом индукции. Только в таком случае обоснование арифметики имеет какой-то смысл. Если такового нет, то, по-моему, и обоснования никакого нет - лучше просто считать понятие "натурального числа" изначальным и неопределяемым.

маткиб писал(а):

Конструктивизм - это прикольно (хотя я в нём и не разбираюсь), но когда ставят его в основание математики, это не есть гут, ИМХО. И причина того, что его пытаются туда ставить, по-моему, как раз в некотором недоверии к классическим теориям, сомнении в их непротиворечивости и адекватности реальному миру.

А что в этом "не гут"? Недоверие к классическим теориям, конечно, где-то есть, но это не есть сомнение в непротиворечивости, а скорее именно в адекватности реальному миру: Похоже, что классические (неконструктивные) теории способны с уверенностью утверждать много всего такого, что в реальном мире принципиально непроверяемо.

Someone писал(а):

Вообще-то, мне встречалось мнение, что и математическую логику невозможно сформулировать, не имея априорного представления о натуральном ряде. Так что всё ещё хуже.

Любопытно, почему это вдруг? Вроде бы из логических тождеств (исчисления предикатов) аксиомы Пеано невыводимы, т.е. нельзя сказать, что в логике уже содержится арифметика?

Someone писал(а):

Сами же в следующей фразе пишете, что не остановились

Но ZFC-то остановилась, в ней понятия класса нет. А NBG, например, это уже другая формальная теория.

Someone писал(а):

Никогда ничего подобного не встречал. Может быть, дадите ссылку?

Да нет, это просто мысль, обоснований не имею. Но теорию множеств, очевидно, можно расширять во многих направлениях (не только в этом). Например, неразрешимость в ней континуум гипотезы доказана, а значит её свободно можно ввести в качестве аксиомы. Или наоборот, ввести нечто противоположное или даже более сложное (что существет ровно одна промежуточная кардинальность, или существует счётная бесконечность промежуточных кардинальностей, или существует не менее чем континуум счётных кардинальностей, или ещё что-нибудь). Всё это - разные варианты расширения теории множеств. И хотя они возможны, но мне непонятно, зачем они нужны.

[маткиб]

epros в сообщении #155304 писал(а):

А что в этом "не гут"? Недоверие к классическим теориям, конечно, где-то есть, но это не есть сомнение в непротиворечивости, а скорее именно в адекватности реальному миру: Похоже, что классические (неконструктивные) теории способны с уверенностью утверждать много всего такого, что в реальном мире принципиально непроверяемо.

Мне не понятна такая вот уверенность в принципиальной непроверяемости. По-моему, эти ограничения искусственны.

epros в сообщении #155304 писал(а):

Но теорию множеств, очевидно, можно расширять во многих направлениях (не только в этом). Например, неразрешимость в ней континуум гипотезы доказана, а значит её свободно можно ввести в качестве аксиомы. Или наоборот, ввести нечто противоположное или даже более сложное (что существет ровно одна промежуточная кардинальность, или существует счётная бесконечность промежуточных кардинальностей, или существует не менее чем континуум счётных кардинальностей, или ещё что-нибудь). Всё это - разные варианты расширения теории множеств. И хотя они возможны, но мне непонятно, зачем они нужны.

Если уж добавлять новые аксиомы, то что-нибудь связанное с существованием очень больших кардиналов, от этого хоть польза будет. А вариации на тему континуум-гипотезы не особо и нужны, потому что монопенисуальны для формальной арифметики. Да и интуиции на них нет, поэтому это будет просто игра с символами.

[вздымщик Цыпа]

Профессор Снэйп в сообщении #155075 писал(а):

Странно, откуда такое неравнодушие к математической логике? Причём даже не к самой матлогике, а к философской мути, поднятой вокруг неё.

Полагаю, что это отголоски той бури, которая разразилась 100 лет назад при кризисе наивной теории множеств. Тогда она сотрясла решительно все. С другой стороны, буря — это всегда очень прикольно для тех, кого она не треплет и даже спустя десятилетия доставляет удовольствие обсасывать ее последствия.

epros в сообщении #155304 писал(а):

А что в этом "не гут"? Недоверие к классическим теориям, конечно, где-то есть, но это не есть сомнение в непротиворечивости, а скорее именно в адекватности реальному миру: Похоже, что классические (неконструктивные) теории способны с уверенностью утверждать много всего такого, что в реальном мире принципиально непроверяемо.

Я конечно не очень много успел узнать об этом деле и серьезную дискуссию врядли выдержу, но первые впечатления такие: ревизия понятия существования от простого «не для всех не», до сложного «существует — это не просто так, а только на блюдечке с голубой каемочкой» и попытка поставить это в основание математики воимя ее адекватности реальному миру — это не очень здорово, поскольку:
а) эта самая адекватность не для всех является безусловной ценностью;
б) рассуждения существенно усложняются;
в) в рамках классической математики никто не мешает рассматривать вопросы о существовании конечных алгоритмов, позволяющих находить за конечное число шагов то, что нужно именно так находить.

[epros]

маткиб писал(а):

Мне не понятна такая вот уверенность в принципиальной непроверяемости. По-моему, эти ограничения искусственны.

Она базируется на том факте, что ни одно из неконструктивных построений пока что не только не проверено на конкретных примерах, но даже способы проверки не определены. Скажу даже более того: указание способа проверки автоматически сделает неконструктивное построение конструктивным.

вздымщик Цыпа писал(а):

первые впечатления такие: ревизия понятия существования от простого «не для всех не», до сложного «существует — это не просто так, а только на блюдечке с голубой каемочкой» и попытка поставить это в основание математики воимя ее адекватности реальному миру

В классической математике утверждать существование объекта с заданными свойствами можно сразу, как только указаны его свойства, и до тех пор, пока не доказана их логическая противоречивость. По-моему, с точки зрения здравого смысла такое утверждение является несколько поспешным. В конструктивном анализе существование объекта с заданными свойствами возможно утверждать только после того, как продемонстрирован способ построения конкретного примера такого объекта (причем такой, который непременно завершится успехом).

Если это ревизия понятия существования, то я - за такой ревизионизм.

вздымщик Цыпа писал(а):

— это не очень здорово, поскольку:
а) эта самая адекватность не для всех является безусловной ценностью;

Ну, это уже вопрос субъективных ценностей. Для меня математика - не просто упражнение (или игра) для ума, а в первую очередь универсальный инструмент науки. По-моему, кого больше интересуют чистые игры ума, тем лучше податься в философию.

вздымщик Цыпа писал(а):

б) рассуждения существенно усложняются;

По-моему, это на 90% есть заблуждение. Конечно есть некоторое количество вещей, которые трудно доказать конструктивно. И есть множество таких, которые вообще доказаны только неконструктивно. Разумеется, раз конструктивизм предъявляет более жёсткие требования к рассуждениям, то некоторые из них усложнятся.Зато он избавляет нас от множества весьма сложных рассуждений про разного рода бесконечности, которые помимо их сложности ещё и непонятно для чего нужны.

вздымщик Цыпа писал(а):

в) в рамках классической математики никто не мешает рассматривать вопросы о существовании конечных алгоритмов, позволяющих находить за конечное число шагов то, что нужно именно так находить.

Ну так это и будет конструктивный анализ
Скажу даже более того: Никто не мешает выходить за рамки конструктивного анализа и прибегать к неконструктивным рассуждениям. Правда конструктивистов может не оказаться в числе заинтересованных читателей...
Точно так же никто не мешает выходить за рамки математики вообще и прибегать к нестрогим и даже вовсе логически противоречивым или бессмысленным рассуждениям. Правда здесь в числе заинтересованных читателей может не оказаться математиков вообще...

[AD]

epros в сообщении #155760 писал(а):

Точно так же никто не мешает выходить за рамки математики вообще и прибегать к нестрогим и даже вовсе логически противоречивым или бессмысленным рассуждениям. Правда здесь в числе заинтересованных читателей может не оказаться математиков вообще...

Зато среди читателей наверняка окажутся активные участники нашего форума - за примерами далеко ходить не надо

[AGu]

epros писал(а):

В классической математике утверждать существование объекта с заданными свойствами можно сразу, как только указаны его свойства, и до тех пор, пока не доказана их логическая противоречивость.

Хмм... Мне казалось, что для возможности утверждать существование объекта необходимо все же доказать его существование (в заранее фиксированной теории). Этак можно много чего вздорного наутверждать. Наверное, Вы имели в виду, что можно тупо добавить существование такого объекта в качестве аксиомы (коль скоро оно не приводит к противоречию).

Кстати, одно из моих любимых развлечений -- временами напоминать публике о том, что в ZFC можно доказать существование неизмермого по Лебегу подмножества $\mathbb R$, но привести конкретный пример такого подмножества в принципе невозможно. (Здесь слова "привести конкретный пример" понимаются в некотором вполне определенном логическом смысле, прекрасно отражающем их интуитивный смысл.)

[AD]

AGu в сообщении #155767 писал(а):

Мне казалось, что для возможности утверждать существование объекта необходимо все же доказать его существование (в заранее фиксированной теории). Этак можно много чего вздорного наутверждать.

Это хорошо видно на континуум-гипотезе: существование такого-то множества ничему не противоречит, но это не значит, что оно существует; наоборот, нередко в рассуждениях принимают как аксиому именно отсутствие такого множества.

[вздымщик Цыпа]

epros в сообщении #155760 писал(а):

В классической математике утверждать существование объекта с заданными свойствами можно сразу, как только указаны его свойства, и до тех пор, пока не доказана их логическая противоречивость.

И это скорее хорошо, чем плохо. Можно сразу приступить к изучению этого объекта, и не тратить время и силы на обоснование его адекватности реальному миру.

epros в сообщении #155760 писал(а):

По-моему, кого больше интересуют чистые игры ума, тем лучше податься в философию.

С какой стати? В философии играют умом совсем другими способами. И цели этих игр и них совсем другие.

epros в сообщении #155760 писал(а):

Разумеется, раз конструктивизм предъявляет более жёсткие требования к рассуждениям, то некоторые из них усложнятся.Зато он избавляет нас от множества весьма сложных рассуждений про разного рода бесконечности, которые помимо их сложности ещё и непонятно для чего нужны.

Бесконечности как раз несложны. А насчет нужности есть универсалньный ответ: «они нужны всякому, кто ими заинтересуется».

epros в сообщении #155760 писал(а):

Ну так это и будет конструктивный анализ

Ну да, конструктивный анализ как раздел математики. Зачем же всю математику сводить только лишь к конструктивному анализу?

[AD]

вздымщик Цыпа в сообщении #155772 писал(а):

А насчет нужности есть универсалньный ответ: «они нужны всякому, кто ими заинтересуется».

И ответ этот неконструктивен

[маткиб]

epros в сообщении #155760 писал(а):

маткиб писал(а):Мне не понятна такая вот уверенность в принципиальной непроверяемости. По-моему, эти ограничения искусственны.

Она базируется на том факте, что ни одно из неконструктивных построений пока что не только не проверено на конкретных примерах, но даже способы проверки не определены. Скажу даже более того: указание способа проверки автоматически сделает неконструктивное построение конструктивным.

А ещё она базируется на законах физики (о которых мы знаем очень мало) и ещё нескольких очень смелых допущениях.

[epros]

AGu писал(а):

epros писал(а):

В классической математике утверждать существование объекта с заданными свойствами можно сразу, как только указаны его свойства, и до тех пор, пока не доказана их логическая противоречивость.

Хмм... Мне казалось, что для возможности утверждать существование объекта необходимо все же доказать его существование (в заранее фиксированной теории). Этак можно много чего вздорного наутверждать. Наверное, Вы имели в виду, что можно тупо добавить существование такого объекта в качестве аксиомы (коль скоро оно не приводит к противоречию).

Конечно же, если речь о формальной теории, то "необходимо доказать". Но дело с том, что способы обращения с формальной теорией у классической математики и у конструктивного анализа ничем принципиально не отличаются, т.е. доказывать что-то из заданного набора аксиом они будут одинаково. Различия лежат как раз в подходах к тому, откуда берётся аксиоматика. С точки зрения классической математики аксиомы берутся "от верблюда" ( ), т.е. что хочу, то и заложу в аксиоматику (до тех пор, пока не возникнет противоречие). А конструктивный анализ не может заложить в аксиоматику утверждение о существовании объекта до тех пор, пока не указан способ построения его конкретного экземпляра.

AGu писал(а):

Кстати, одно из моих любимых развлечений -- временами напоминать публике о том, что в ZFC можно доказать существование неизмермого по Лебегу подмножества $\mathbb R$, но привести конкретный пример такого подмножества в принципе невозможно. (Здесь слова "привести конкретный пример" понимаются в некотором вполне определенном логическом смысле, прекрасно отражающем их интуитивный смысл.)

А я люблю вспоминать про существование нелинейной аддитивной функции на $\mathbb R$, которое доказано, но конкретный пример такой функции тоже привести невозможно (под конкретным примером функции понимается однозначный способ вычисления её значения по любому предъявленному в качестве аргумента действительному числу).

AD писал(а):

Это хорошо видно на континуум-гипотезе: существование такого-то множества ничему не противоречит, но это не значит, что оно существует; наоборот, нередко в рассуждениях принимают как аксиому именно отсутствие такого множества.

Да, можно утверждать и несуществование. Но ведь можно утверждать и существование, это будет считаться корректной классической теорией.

вздымщик Цыпа писал(а):

Можно сразу приступить к изучению этого объекта, и не тратить время и силы на обоснование его адекватности реальному миру.

Видите какая штука: Тратить силы на "изучение" объектов, которые могут оказаться (и с вероятностью 99.999% и окажутся) "произведениями чистого разума", не имеющими никакого отношения к реальности, Вы не считаете зазорным. Ну, это только вопрос субъективных ценностей. Понятное дело, запретить это Вам никто не может.

вздымщик Цыпа писал(а):

В философии играют умом совсем другими способами.

По-моему, суть не в способах. Да, в математике принимается такое рассуждение, которое формализуемо (обычно, на языке логики первого поряда), таковы "правила игры". В философии каждый автор предлагает свои правила. Но суть-то получается одна: "игра ума" по некоторым определённым им же самим правилам.

вздымщик Цыпа писал(а):

Ну да, конструктивный анализ как раздел математики. Зачем же всю математику сводить только лишь к конструктивному анализу?

Конечно же, в смысле допустимых способов рассуждения конструктивный анализ - это "раздел" математики. Точно в том же смысле, в котором математика - это раздел философии (ибо там допустим более широкий класс способов рассуждения, включая неформализуемые и далёкие от логики). Речь не идёт о том, чтобы "сводить всю математику". Можно рассматривать и неконструктивные рассуждения. Вопрос заключается только в том, чтобы понимать их неконструктивность и принять для себя решение, нужно ли тратить на них время.