2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 12:16 


01/08/19
82
Fraction $\frac{101010101}{110010011}$ is written in any base. Prove:
$$\frac{101010101}{110010011}=\frac{1010\overbrace{1\ldots1}^{n}0101}{1100\underbrace{1\ldots 1}_{n}0011}$$
and $n$ is odd number.

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5171
Нов-ск
$$\frac{101010101}{110010011}=\frac{1010\overbrace{1\ldots1}^{n}0101}{1100\underbrace{1\ldots 1}_{n}0011}$$Вопрос по условию: что такое стоит слева и что такое справа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 15:48 
Аватара пользователя


26/02/14
231
so dna
rsoldo в сообщении #1578551 писал(а):
Fraction $\frac{101010101}{110010011}$ is written in any base. Prove:
$$\frac{101010101}{110010011}=\frac{1010\overbrace{1\ldots1}^{n}0101}{1100\underbrace{1\ldots 1}_{n}0011}$$
and $n$ is odd number.

$\frac{1+b^2+b^4+b^6+b^8}{1+b+b^4+b^7+b^8}=\frac{1+b^2+\frac{b^4(b^n-1)}{b-1}+b^{n+5}+b^{n+7}}{1+b+\frac{b^4(b^n-1)}{b-1}+b^{n+6}+b^{n+7}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14145
По-видимому речь идёт о равенствах

101010101 / 110010011 = 9091/9901
1010110101 / 1100110011 = 9091/9901
10101110101 / 11001110011 = 9091/9901
101011110101 / 110011110011 = 9091/9901
1010111110101 / 1100111110011 = 9091/9901
10101111110101 / 11001111110011 = 9091/9901
101011111110101 / 110011111110011 = 9091/9901
1010111111110101 / 1100111111110011 = 9091/9901
10101111111110101 / 11001111111110011 = 9091/9901


Но почему n только нечётное :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5171
Нов-ск
Если в обеих частях (какое-то) одинаковое основание, то
$$\frac{1010\overbrace{1\ldots1}^{n}0101}{1100\underbrace{1\ldots 1}_{n}0011}=
\frac{9090\overbrace{9\ldots9}^{n}0909+9091-9091}{9900\underbrace{9\ldots 9}_{n}0099+9901-9901}=
\frac{9091\overbrace{0\ldots0}^{n+4}-9091}{9901\underbrace{0\ldots 0}_{n+4}-9901}=\frac{9091}{9901}
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group