2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 12:16 


01/08/19
95
Fraction $\frac{101010101}{110010011}$ is written in any base. Prove:
$$\frac{101010101}{110010011}=\frac{1010\overbrace{1\ldots1}^{n}0101}{1100\underbrace{1\ldots 1}_{n}0011}$$
and $n$ is odd number.

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$$\frac{101010101}{110010011}=\frac{1010\overbrace{1\ldots1}^{n}0101}{1100\underbrace{1\ldots 1}_{n}0011}$$Вопрос по условию: что такое стоит слева и что такое справа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 15:48 
Аватара пользователя


26/02/14
497
so dna
rsoldo в сообщении #1578551 писал(а):
Fraction $\frac{101010101}{110010011}$ is written in any base. Prove:
$$\frac{101010101}{110010011}=\frac{1010\overbrace{1\ldots1}^{n}0101}{1100\underbrace{1\ldots 1}_{n}0011}$$
and $n$ is odd number.

$\frac{1+b^2+b^4+b^6+b^8}{1+b+b^4+b^7+b^8}=\frac{1+b^2+\frac{b^4(b^n-1)}{b-1}+b^{n+5}+b^{n+7}}{1+b+\frac{b^4(b^n-1)}{b-1}+b^{n+6}+b^{n+7}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
По-видимому речь идёт о равенствах

101010101 / 110010011 = 9091/9901
1010110101 / 1100110011 = 9091/9901
10101110101 / 11001110011 = 9091/9901
101011110101 / 110011110011 = 9091/9901
1010111110101 / 1100111110011 = 9091/9901
10101111110101 / 11001111110011 = 9091/9901
101011111110101 / 110011111110011 = 9091/9901
1010111111110101 / 1100111111110011 = 9091/9901
10101111111110101 / 11001111111110011 = 9091/9901


Но почему n только нечётное :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение24.01.2023, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Если в обеих частях (какое-то) одинаковое основание, то
$$\frac{1010\overbrace{1\ldots1}^{n}0101}{1100\underbrace{1\ldots 1}_{n}0011}=
\frac{9090\overbrace{9\ldots9}^{n}0909+9091-9091}{9900\underbrace{9\ldots 9}_{n}0099+9901-9901}=
\frac{9091\overbrace{0\ldots0}^{n+4}-9091}{9901\underbrace{0\ldots 0}_{n+4}-9901}=\frac{9091}{9901}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение26.09.2023, 13:00 


01/08/19
95
This is Anning's Theorem. Condition in the Theorem is n is odd. I don't know why?! I don't have a counterexample if n is even.

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition in Slovenia No.1
Сообщение26.09.2023, 15:45 
Аватара пользователя


26/02/14
497
so dna
It's just an identity

$\dfrac{101010101_b}{110010011_b}=\dfrac{1+b^2+b^4+b^6+b^8}{1+b+b^4+b^7+b^8}=\dfrac{1+b^2+\frac{b^4(b^n-1)}{b-1}+b^{n+5}+b^{n+7}}{1+b+\frac{b^4(b^n-1)}{b-1}+b^{n+6}+b^{n+7}}=$

$=\dfrac{1+b^2+b^4+\cdots+b^{n+3}+b^{n+5}+b^{n+7}}{1+b+b^4+\cdots+b^{n+3}+b^{n+6}+b^{n+7}}=\dfrac{1010\overbrace{1\ldots1}^{n}0101_b}{1100\underbrace{1\ldots 1}_{n}0011_b}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: 12d3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group