Вычисление доверительных интервалов "руками"

[vlad239]

Пытаюсь придумать задачу про начала статистики (будет дана хорошему 11 классу матшколы), в которой можно было бы потрогать доверительные интервалы руками, а не тупо подставить чиселки из таблицы критериев. Вот что я придумал. Прошу сказать, получилось ли что-то осмысленное или это вообще бред и я сам плохо помню, что такое доверительные интервалы?

Мы пытаемся оценить, сколько автобусных маршрутов есть в городе по таким данным - мы видели автобусы с номерами 1,5,4,7.
Допустим что количество маршрутов выбирается случайным образом равновероятно из чисел от 1 до n, а на каждом маршруте поровну автобусов. Тогда вероятность такого события по формуле полной вероятности - $\sum\limits_{i=1}^n \frac1n\cdot p_i= \sum\limits_{i=7}^n \frac1n\cdot \frac{1}{i^4}$. Рассмотрим в качестве интервала промежуток $[7;a]$ (ясно, что меньше семи маршрутов быть не может), тогда по формуле Байеса вероятность того, что сбылось одно из этих событий равна $\frac{\sum\limits_{i=7}^a\cdot \frac{1}{i^4}}{\sum\limits_{i=7}^n\cdot \frac{1}{i^4}}$. У знаменателя есть конечный предел (ряд сходится), а числитель монотонен по a и потому можно подобрать такое a, для которого эта дробь станет больше, скажем, 0.95 (у меня вышло что a=18).

Ну и независимо от того, правда это или нет - посоветуйте мне еще примеров. Школьники знают интегралы и немного знают ряды, но не знают кратных интегралов и вообще никакой многомерщины.

[Александрович]

Доверительный интервал строится по выборке некоторого объёма. Где она у вас?

[Doctor Boom]

Похоже на задачу танков

[vlad239]

Александрович в сообщении #1578516 писал(а):

Доверительный интервал строится по выборке некоторого объёма. Где она у вас?

мы видели автобусы с номерами 1,5,4,7. Объем 4.

Ясно что с увеличением выборки и при этом сохранением максимума скорость сходимости ряда растет.Поэтому a уменьшается. Для 7 вместо 4 получается, например, что хватает 11 вроде.

[EUgeneUS]

vlad239
В примере с автобусами
1. нужно ещё сделать обязательную оговорку в условиях: что если какой-то маршрут имеется, то встретить автобус с таким номером равновероятно с автобусами других маршрутов.
2. и ещё. Если встретили по одному автобусу марштутов 1, 5, 4, 7, то ьбудет одинг дверетительный интервал. А если встретили по 10-15 автобусов с такими же маршрутами, то будет совсем другой доверетительный интервал.

К вопросу о других задачах.
Задайте что-нибудь из жизни. Например, расчет доверительного интервала для оценки эффективности вакцины.
В 21 году разработчиков "Спутника" сильно критиковали, мол, мало данных собрали для первого пресс-релиза. Ан-нет, доверительный интервал там был вполне приличным. Данные можно взять реальные - из пресс-релизов "Спутника" и "Пфайзера" с "Модерной".

[vlad239]

EUgeneUS в сообщении #1578521 писал(а):

vlad239
В примере с автобусами
1. нужно ещё сделать обязательную оговорку в условиях: что если какой-то маршрут имеется, то встретить автобус с таким номером равновероятно с автобусами других маршрутов.
2. и ещё. Если встретили по одному автобусу марштутов 1, 5, 4, 7, то ьбудет одинг дверетительный интервал. А если встретили по 10-15 автобусов с такими же маршрутами, то будет совсем другой доверетительный интервал.

Первое я вроде уточнил в самом начале решения, это входит в постановку задачи. Второе понятно, при увеличении степени ряд начинает сходиться быстрее и надо взять меньше его первых слагаемых.

EUgeneUS в сообщении #1578521 писал(а):

vlad239
Задайте что-нибудь из жизни. Например, расчет доверительного интервала для оценки эффективности вакцины.
В 21 году разработчиков "Спутника" сильно критиковали, мол, мало данных собрали для первого пресс-релиза. Ан-нет, доверительный интервал там был вполне приличным. Данные можно взять реальные - из пресс-релизов "Спутника" и "Пфайзера" с "Модерной".

А там разве не будет как раз смотрения в табличку чего-то вроде критериев Фишера и Стьюдента?
Как Вы предлагаете поставить дискретную задачу?

[EUgeneUS]

vlad239
Эффективность вакцины, по определению: $VE = 1 - \frac{R_y}{R_n}$, где $R_y$ - риск заболеть, если привит, $R_n$ - риск заболеть, если не привит.

Соответственно задача распадается на два этапа:
1. Оценка величины и доверетильных интервалов для каждого риска.
Я это считал через расчет хвостов биномиального распределения. Конечно, не совсем для ручных вычислений, но в обычном Екселе делается "на раз".

2. Пересчет оценки величины и доверетельгных интевалов для производной величины. Собственно для $VE$.

-- 24.01.2023, 11:22 --

И всё таки для автобусов много оговорок приходится делать в условиях.
Можно на более простых моделях посмотреть.

1. Есть монетка, которая с вероятностью $p$ выпадает орлом, а с вероятностью $1-q$ решкой.
а) кинули монетку 10 раз, 3 раза выпал орёл, 7 раз выпала решка. Какой 95-% доверетительный интервал для $p$?
б) кинули монетку 100 раз, 30 раз выпал орёл, 70 раз выпала решка. Какой 95-% доверетительный интервал для $p$?

Или в другом виде:
2. Большое количество черных и белых шариков смешали в неизвестной пропорции $p$.
а) вытащили 10 шариков, из них 3 белых и 7 черных. Какой 95-% доверетительный интервал для $p$?
б) вытащили 100 шариков, из них 30 белых и 70 черных. Какой 95-% доверетительный интервал для $p$?

[vlad239]

EUgeneUS в сообщении #1578531 писал(а):

vlad239
Эффективность вакцины, по определению

Это сложновато для начала, да. Эксель не пугает, я и ряды буду суммировать не вручную.

EUgeneUS в сообщении #1578531 писал(а):

Можно на более простых моделях посмотреть.
1. Есть монетка, которая с вероятностью $p$ выпадает орлом, а с вероятностью $1-p$ решкой.

Забавно. Эту задачу я тоже придумал. А дискретизацию (чтобы Байеса написать) видимо так - будем перебирать для p вероятности вида $\frac{i}{n}$, Вы это имели в виду?