2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление доверительных интервалов "руками"
Сообщение23.01.2023, 23:10 


06/01/09
231
Пытаюсь придумать задачу про начала статистики (будет дана хорошему 11 классу матшколы), в которой можно было бы потрогать доверительные интервалы руками, а не тупо подставить чиселки из таблицы критериев. Вот что я придумал. Прошу сказать, получилось ли что-то осмысленное или это вообще бред и я сам плохо помню, что такое доверительные интервалы?

Мы пытаемся оценить, сколько автобусных маршрутов есть в городе по таким данным - мы видели автобусы с номерами 1,5,4,7.
Допустим что количество маршрутов выбирается случайным образом равновероятно из чисел от 1 до n, а на каждом маршруте поровну автобусов. Тогда вероятность такого события по формуле полной вероятности - $\sum\limits_{i=1}^n \frac1n\cdot p_i=
\sum\limits_{i=7}^n \frac1n\cdot \frac{1}{i^4}$. Рассмотрим в качестве интервала промежуток $[7;a]$ (ясно, что меньше семи маршрутов быть не может), тогда по формуле Байеса вероятность того, что сбылось одно из этих событий равна $\frac{\sum\limits_{i=7}^a\cdot \frac{1}{i^4}}{\sum\limits_{i=7}^n\cdot \frac{1}{i^4}}$. У знаменателя есть конечный предел (ряд сходится), а числитель монотонен по a и потому можно подобрать такое a, для которого эта дробь станет больше, скажем, 0.95 (у меня вышло что a=18).

Ну и независимо от того, правда это или нет - посоветуйте мне еще примеров. Школьники знают интегралы и немного знают ряды, но не знают кратных интегралов и вообще никакой многомерщины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление доверительных интервалов "руками"
Сообщение24.01.2023, 04:55 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Доверительный интервал строится по выборке некоторого объёма. Где она у вас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление доверительных интервалов "руками"
Сообщение24.01.2023, 06:05 
Аватара пользователя


22/07/22

897
Похоже на задачу танков

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление доверительных интервалов "руками"
Сообщение24.01.2023, 07:54 


06/01/09
231
Александрович в сообщении #1578516 писал(а):
Доверительный интервал строится по выборке некоторого объёма. Где она у вас?


мы видели автобусы с номерами 1,5,4,7. Объем 4.

Ясно что с увеличением выборки и при этом сохранением максимума скорость сходимости ряда растет.Поэтому a уменьшается. Для 7 вместо 4 получается, например, что хватает 11 вроде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление доверительных интервалов "руками"
Сообщение24.01.2023, 09:01 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
vlad239
В примере с автобусами
1. нужно ещё сделать обязательную оговорку в условиях: что если какой-то маршрут имеется, то встретить автобус с таким номером равновероятно с автобусами других маршрутов.
2. и ещё. Если встретили по одному автобусу марштутов 1, 5, 4, 7, то ьбудет одинг дверетительный интервал. А если встретили по 10-15 автобусов с такими же маршрутами, то будет совсем другой доверетительный интервал.

К вопросу о других задачах.
Задайте что-нибудь из жизни. Например, расчет доверительного интервала для оценки эффективности вакцины.
В 21 году разработчиков "Спутника" сильно критиковали, мол, мало данных собрали для первого пресс-релиза. Ан-нет, доверительный интервал там был вполне приличным. Данные можно взять реальные - из пресс-релизов "Спутника" и "Пфайзера" с "Модерной".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление доверительных интервалов "руками"
Сообщение24.01.2023, 10:07 


06/01/09
231
EUgeneUS в сообщении #1578521 писал(а):
vlad239
В примере с автобусами
1. нужно ещё сделать обязательную оговорку в условиях: что если какой-то маршрут имеется, то встретить автобус с таким номером равновероятно с автобусами других маршрутов.
2. и ещё. Если встретили по одному автобусу марштутов 1, 5, 4, 7, то ьбудет одинг дверетительный интервал. А если встретили по 10-15 автобусов с такими же маршрутами, то будет совсем другой доверетительный интервал.

Первое я вроде уточнил в самом начале решения, это входит в постановку задачи. Второе понятно, при увеличении степени ряд начинает сходиться быстрее и надо взять меньше его первых слагаемых.

EUgeneUS в сообщении #1578521 писал(а):
vlad239
Задайте что-нибудь из жизни. Например, расчет доверительного интервала для оценки эффективности вакцины.
В 21 году разработчиков "Спутника" сильно критиковали, мол, мало данных собрали для первого пресс-релиза. Ан-нет, доверительный интервал там был вполне приличным. Данные можно взять реальные - из пресс-релизов "Спутника" и "Пфайзера" с "Модерной".

А там разве не будет как раз смотрения в табличку чего-то вроде критериев Фишера и Стьюдента?
Как Вы предлагаете поставить дискретную задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление доверительных интервалов "руками"
Сообщение24.01.2023, 11:10 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
vlad239
Эффективность вакцины, по определению: $VE = 1 - \frac{R_y}{R_n}$, где $R_y$ - риск заболеть, если привит, $R_n$ - риск заболеть, если не привит.

Соответственно задача распадается на два этапа:
1. Оценка величины и доверетильных интервалов для каждого риска.
Я это считал через расчет хвостов биномиального распределения. Конечно, не совсем для ручных вычислений, но в обычном Екселе делается "на раз".

2. Пересчет оценки величины и доверетельгных интевалов для производной величины. Собственно для $VE$.

-- 24.01.2023, 11:22 --

И всё таки для автобусов много оговорок приходится делать в условиях.
Можно на более простых моделях посмотреть.

1. Есть монетка, которая с вероятностью $p$ выпадает орлом, а с вероятностью $1-q$ решкой.
а) кинули монетку 10 раз, 3 раза выпал орёл, 7 раз выпала решка. Какой 95-% доверетительный интервал для $p$?
б) кинули монетку 100 раз, 30 раз выпал орёл, 70 раз выпала решка. Какой 95-% доверетительный интервал для $p$?

Или в другом виде:
2. Большое количество черных и белых шариков смешали в неизвестной пропорции $p$.
а) вытащили 10 шариков, из них 3 белых и 7 черных. Какой 95-% доверетительный интервал для $p$?
б) вытащили 100 шариков, из них 30 белых и 70 черных. Какой 95-% доверетительный интервал для $p$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление доверительных интервалов "руками"
Сообщение24.01.2023, 11:47 


06/01/09
231
EUgeneUS в сообщении #1578531 писал(а):
vlad239
Эффективность вакцины, по определению


Это сложновато для начала, да. Эксель не пугает, я и ряды буду суммировать не вручную.


EUgeneUS в сообщении #1578531 писал(а):
Можно на более простых моделях посмотреть.
1. Есть монетка, которая с вероятностью $p$ выпадает орлом, а с вероятностью $1-p$ решкой.

Забавно. Эту задачу я тоже придумал. А дискретизацию (чтобы Байеса написать) видимо так - будем перебирать для p вероятности вида $\frac{i}{n}$, Вы это имели в виду?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group