Векторное поле

[krum]

$D\subset\mathbb{R}^m$ - ограниченная область; $v(x)\in C^1(D)\cap C(\overline D)$ - векторное поле. Известно, что существует функция $\varphi\in C^2(D)\cap C(\overline D)$ такая, что
$L_vL_v \varphi>0$ в $D$ ($L_v$ - проищводная Ли.)
Доказать, что векторное поле $v$ не имеет нетривиального (не равного тождественно константе) первого интеграла $f\in C^2(D)\cap C(\overline D)$, для которого $\partial D$ являлась бы поверхностью уровня.

[svv]

krum, подскажите, пожалуйста, как решается эта интересная задача. Вот мои интуитивные попытки.

Пусть $\psi=L_v \varphi$. Из $L_v\psi>0$ следует, что
1) поле $v$ не имеет особых точек в $D$, т.к. в особой точке будет $L_v\psi=0$;
2) интегральные кривые $v$ в $D$ не могут быть замкнутыми, иначе при обходе кривой функция $\psi$ не вернётся к исходному значению.
Что меня смущает: те же следствия получались бы из более простого условия $L_v\varphi>0$, но Вы задали именно $L_vL_v\varphi>0$.

krum в сообщении #1571579 писал(а):

Доказать, что векторное поле $v$ не имеет нетривиального (не равного тождественно константе) первого интеграла $f\in C^2(D)\cap C(\overline D)$, для которого $\partial D$ являлась бы поверхностью уровня.

Пусть такой первый интеграл есть, тогда $v$ касательно к $\partial D$. В этом нет ничего страшного: например, на плоскости с полярными координатами поле $v=\partial_\varphi$ имеет первый интеграл $f=r$, для которого граница круга $r \leqslant a$ будет поверхностью уровня.

Может, надо рассуждать так? Раз $f$ не константа и $\partial D$ — поверхность уровня $f$, у $f$ будет точка экстремума в $D$, где $v$ должно обратиться в нуль, вопреки сказанному выше.

[krum]

svv в сообщении #1578241 писал(а):

как решается эта интересная задача

не такая интересная, как я поначалу подумал, увы. на стр 2 решение
https://files.catbox.moe/1rhv5w.pdf

-- 22.01.2023, 11:05 --

по-моему, Вы эту задачу решили

-- 22.01.2023, 11:08 --

svv в сообщении #1578241 писал(а):

аз $f$ не константа и $\partial D$ — поверхность уровня $f$, у $f$ будет точка экстремума в $D$, где $v$ должно обратиться в нуль,

вот тут нюансы, если , например, максимум строгий, тогда конечно, если нет -- надо ковыряться

[svv]

Спасибо!