2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение18.01.2023, 12:11 
Аватара пользователя


26/11/14
773
Доброго времени суток. Уважаемые, помогите разобраться. Решаю уравнение:

$\arccos(x)+\arccos(2x)=\frac{\pi}{3}$ , ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$

$\arccos(x)=\frac{\pi}{3} - \arccos(2x)$. Пусть $\alpha = \arccos(x) $, тогда: $\alpha \in [0,\pi] , \,\, \cos \alpha = x$ тогда:

$x=\cos(\frac{\pi}{3} - \arccos(2x))=x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\arccos(2x)) \Leftrightarrow \sin(\arccos(2x))=0 \Leftrightarrow $
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \arccos(2x)=\pi k \\
 \arccos(2x) \in [0,\pi] \\
\end{array}
\right.$$ откуда: $k={0;1}$ и соответственно $x=\left\lbrace -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right\rbrace$. Но $x=- \frac{1}{2}$ проверку не проходит. А откуда он взялся? У меня вроде все переходы равносильные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение18.01.2023, 12:35 
Заслуженный участник


18/09/21
1771
Stensen в сообщении #1577731 писал(а):
$\arccos(x)=\frac{\pi}{3} - \arccos(2x)$
$\arccos(x) \in [0,\pi]$
$\frac{\pi}{3} - \arccos(2x) \in [-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}]$

PS: для равносильности нужно кроме равенств ещё неравенства добавить ($\alpha \in [0,\frac{\pi}{3}]$)

-- 18.01.2023, 12:57 --

Ну и вообще, $a=b \implies \cos a = \cos b$ работает только в одну сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение18.01.2023, 17:41 
Аватара пользователя


26/11/14
773
zykov в сообщении #1577743 писал(а):
$\arccos(x) \in [0,\pi]$
$\frac{\pi}{3} - \arccos(2x) \in [-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}]$

PS: для равносильности нужно кроме равенств ещё неравенства добавить ($\alpha \in [0,\frac{\pi}{3}]$)

Ну и вообще, $a=b \implies \cos a = \cos b$ работает только в одну сторону.
Спасибо, понятно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: teleglaz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group