Уравнение с обратными тригонометрическими функциями

[Stensen]

Доброго времени суток. Уважаемые, помогите разобраться. Решаю уравнение:

$\arccos(x)+\arccos(2x)=\frac{\pi}{3}$ , ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$

$\arccos(x)=\frac{\pi}{3} - \arccos(2x)$. Пусть $\alpha = \arccos(x) $, тогда: $\alpha \in [0,\pi] , \,\, \cos \alpha = x$ тогда:

$x=\cos(\frac{\pi}{3} - \arccos(2x))=x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\arccos(2x)) \Leftrightarrow \sin(\arccos(2x))=0 \Leftrightarrow $

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \arccos(2x)=\pi k \\ \arccos(2x) \in [0,\pi] \\ \end{array} \right.$$

откуда: $k={0;1}$ и соответственно $x=\left\lbrace -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right\rbrace$. Но $x=- \frac{1}{2}$ проверку не проходит. А откуда он взялся? У меня вроде все переходы равносильные?

[zykov]

Stensen в сообщении #1577731 писал(а):

$\arccos(x)=\frac{\pi}{3} - \arccos(2x)$

$\arccos(x) \in [0,\pi]$
$\frac{\pi}{3} - \arccos(2x) \in [-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}]$

PS: для равносильности нужно кроме равенств ещё неравенства добавить ($\alpha \in [0,\frac{\pi}{3}]$)

-- 18.01.2023, 12:57 --

Ну и вообще, $a=b \implies \cos a = \cos b$ работает только в одну сторону.

[Stensen]

zykov в сообщении #1577743 писал(а):

$\arccos(x) \in [0,\pi]$
$\frac{\pi}{3} - \arccos(2x) \in [-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}]$

PS: для равносильности нужно кроме равенств ещё неравенства добавить ($\alpha \in [0,\frac{\pi}{3}]$)

Ну и вообще, $a=b \implies \cos a = \cos b$ работает только в одну сторону.

Спасибо, понятно