Плоский конденсатор свернули в рулон

[profilescit]

Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R \gg d$.

Пусть мы считаем что каждый виток это отдельный цилиндрический конденсатор емкость $C_i = \frac{2 \pi \varepsilon_0 a}{\ln{\frac{R_{i+1}}{R_i}}}$. Зная всю длину ленты, можно дополнительно заключить что $\sum 2 \pi R_i = l$, при том что $R_{i+1} = R_i + d$. Последнее утверждение мне кажется не совсем правильными, ведь мы не знаем расстояние между витками, но до другого решения я еще не додумался.

Если все же идти таким путем, получится что $C_i = \frac{2 \pi \varepsilon_0 a}{\ln{1 + \frac{d}{R_i}}}$ и опять же сомнительное решение считать что $\ln{(1 + \frac{d}{R_i})} \approx \frac{d}{R_i}$ для всех $R_i$.

Подскажите, в правильном ли направлении я иду. Если нет, то что нужно сделать чтобы решить задачу?

[EUgeneUS]

Если мы будем сворачивать плоский конденсатор в рулон, то на первом же обороте замкнем пластины.
Это означает, что мы должны дополнить условия величиной второго зазора между пластинами (который получается при сворачивании в рулон). Логично взять его величину также - $d$.

Дальнейшие Ваши выкладки вполне адекватны. Считаем конденсатор в виде кучи концентрических, параллельно соединенных, цилиндрических конденсаторов.

profilescit в сообщении #1577711 писал(а):

Если все же идти таким путем, получится что $C_i = \frac{2 \pi \varepsilon_0 a}{\ln{1 + \frac{d}{R_i}}}$

Тут можно и нужно заметить, что $\frac{d}{R_i} = \frac{1}{i}$.

И задача сводится к нахождению суммы $\sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{\ln{(1+1/i)}}$, где $N$ - количество концентрических конденсаторов, которое в два раза больше количества витков.

Далее можно заметить что функция $f(x) = \frac{1}{\ln{(1+1/x)}}$ имеет асимптоту при больших $x$, через которую и посчитать оценку суммы.

-- 18.01.2023, 12:31 --

profilescit в сообщении #1577711 писал(а):

опять же сомнительное решение считать что $\ln{(1 + \frac{d}{R_i})} \approx \frac{d}{R_i}$ для всех $R_i$.

Да, это сомнительно. Надо более аккуратно разложить в ряд Тейлора и там будет ещё кое-что. Впрочем, для больших $i$ это будет поправка следующего порядка малости, но её учёт не составит труда.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1577739 писал(а):

Тут можно и нужно заметить, что $\frac{d}{R_i} = \frac{1}{i}$.

Я эту задачку сейчас в книжке нашел, и там указано, что $R\gg d$ - внутренний радиус цилиндра.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1577741 писал(а):

Я эту задачку сейчас в книжке нашел, и там указано, что $R\gg d$ - внутренний радиус цилиндра.

Это, конечно, важное замечание. Но
а) на ход решения влияет мало (это уточнение легко учитывается путем уточнения границ в сумме).
б) оценка через асимптоту получится гораздо более точной.

[DimaM]

EUgeneUS
У меня оценка существенно зависит от того, как соотносятся величины $R$ и $nd$ ($n$ - число витков). Хотя подогнать к ответу не получается ни одним из способов.

[EUgeneUS]

DimaM
Проверим промежуточный результат.
Если $R$ - внутренний диаметр рулона, то количество витков конденсаторов у меня получилось такое (количество витков в два раза меньше):

$n = \pi [\sqrt{1 + \frac{4ld}{\pi R^2}} -1] \approx \frac{2ld}{R^2}$

-- 18.01.2023, 15:33 --

Далее, ёмкость единичного конденсатора оказалось, что не зависит от номера (в принятых ограничениях), и равна:
$C_i = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}}$

А полная ёмкость, соответственно:
$C = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \cdot \frac{2ld}{\pi R^2} = \frac{4 \varepsilon \varepsilon_0 l d a}{R^2\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \approx \frac{4 \varepsilon \varepsilon_0 l a}{R}$

-- 18.01.2023, 15:34 --

DimaM
А какой ответ в книжке?

[EUgeneUS]

оопс.

Выше у меня ошибка в приблизительном вычислении количества витков. Оно почему-то считается много меньше единицы, когда приближение применяется. Скорее наоборот, нужно считать, что количество витков заметно больше единицы. Тогда:

$n = \pi [\sqrt{1 + \frac{4ld}{\pi R^2}} -1] \approx \frac{2}{R} \sqrt {\pi ld}$

[zykov]

EUgeneUS в сообщении #1577786 писал(а):

Выше у меня ошибка

Да, ошибка.
Емкость должна быть $C \sim \frac{S}{d}=\frac{la}{d}$, что для плоского, что для свёрнутого.

[EUgeneUS]

zykov
Если рассмотреть совсем простой случай: толщина рулона сильно меньше "начального" радиуса $R$, то получаем такое:

1. Количество конденсаторов:
$2 \pi R n = 2 l$, тогда $n = \frac{l}{\pi R}$

2. Умножаем на ёмкость одного конденсатора и используем замечательный предел:

$C = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \cdot \frac{l}{\pi R} = \frac{2 \varepsilon \varepsilon_0 a l}{d}$

То есть в два раза больше ёмкости плоского конденсатора с той же площадью пластин. Что в общем-то понятно.

Сложности начинаются, если толщина рулона сравнима или больше начального радиуса $R$.

-- 18.01.2023, 18:51 --

UPD, можно, конечно, развить эту идею, и представить ёмкость "толстого" рулона, как сумму ёмкостей тонких рулонов. Тогда приходим ровно к тому же выражению.

[zykov]

EUgeneUS в сообщении #1577812 писал(а):

То есть в два раза больше ёмкости плоского конденсатора с той же площадью пластин

Это если между соседними витками расстояние малое (такое же $d$) и образуется ещё один такой же конденсатор.
Если расстояние между соседними витками большое (какая-нибудь там толстая изоляция), то ёмкость от свёртывания практически не изменится.

[EUgeneUS]

zykov в сообщении #1577813 писал(а):

Это если между соседними витками расстояние малое (такое же $d$) и образуется ещё один такой же конденсатор.
Если расстояние между соседними витками большое (какая-нибудь там толстая изоляция), то ёмкость от свёртывания практически не изменится.

Это, да.
Нам нужно сделать какое-то предположение о втором зазоре между пластинами, который образуется при свертывании пластин в рулон, раз уж этого нет в (приведенном) условии.

-- 18.01.2023, 19:29 --

И ещё небольшое замечание.
Вот это выражение:

EUgeneUS в сообщении #1577812 писал(а):

$C = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \cdot \frac{l}{\pi R} = \frac{2 \varepsilon \varepsilon_0 a l}{d}$

cправедливо для большого количества оборотов.

Можно сделать поправку, учитывающую, что внешняя и внутренняя поверхность рулона "участвует" не в двух конденсаторах, а в одном.
Тогда количество оборотов будет:
$k = \frac{l}{2 \pi R}$, а количество конденсаторов будет равно $n = 2k-1 = \frac{l}{\pi R} - 1$,
и в результате:
$C = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \cdot (\frac{l}{\pi R} - 2)= \frac{2 \varepsilon \varepsilon_0 a}{d} (l - \pi R)$

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1577776 писал(а):

А какой ответ в книжке?

$$\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right).$$

[EUgeneUS]

DimaM
Да, довольно странный ответ.
Получается ёмкость плоского конденсатора плюс некоторая добавка, которая может быть как сильно больше единицы, так и сильно меньше единицы....

ИМХО, такое может быть только в одном случае - второй зазор может сильно меняться.
Например, такой ход решения:

1. Каким-то образом определяем толщину второго зазора.
2. Добавляем к ёмкости плоского конденсатора ёмкость конденсатора, который образовался при сворачиывании в рулон.