2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 03:01 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R \gg d$.

Пусть мы считаем что каждый виток это отдельный цилиндрический конденсатор емкость $C_i = \frac{2 \pi \varepsilon_0 a}{\ln{\frac{R_{i+1}}{R_i}}}$. Зная всю длину ленты, можно дополнительно заключить что $\sum 2 \pi R_i = l$, при том что $R_{i+1} = R_i + d$. Последнее утверждение мне кажется не совсем правильными, ведь мы не знаем расстояние между витками, но до другого решения я еще не додумался.

Если все же идти таким путем, получится что $C_i = \frac{2 \pi \varepsilon_0 a}{\ln{1 + \frac{d}{R_i}}}$ и опять же сомнительное решение считать что $\ln{(1 + \frac{d}{R_i})} \approx \frac{d}{R_i}$ для всех $R_i$.

Подскажите, в правильном ли направлении я иду. Если нет, то что нужно сделать чтобы решить задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 12:28 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Если мы будем сворачивать плоский конденсатор в рулон, то на первом же обороте замкнем пластины.
Это означает, что мы должны дополнить условия величиной второго зазора между пластинами (который получается при сворачивании в рулон). Логично взять его величину также - $d$.

Дальнейшие Ваши выкладки вполне адекватны. Считаем конденсатор в виде кучи концентрических, параллельно соединенных, цилиндрических конденсаторов.

profilescit в сообщении #1577711 писал(а):
Если все же идти таким путем, получится что $C_i = \frac{2 \pi \varepsilon_0 a}{\ln{1 + \frac{d}{R_i}}}$


Тут можно и нужно заметить, что $\frac{d}{R_i} = \frac{1}{i}$.

И задача сводится к нахождению суммы $\sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{\ln{(1+1/i)}}$, где $N$ - количество концентрических конденсаторов, которое в два раза больше количества витков.

Далее можно заметить что функция $f(x) = \frac{1}{\ln{(1+1/x)}}$ имеет асимптоту при больших $x$, через которую и посчитать оценку суммы.

-- 18.01.2023, 12:31 --

profilescit в сообщении #1577711 писал(а):
опять же сомнительное решение считать что $\ln{(1 + \frac{d}{R_i})} \approx \frac{d}{R_i}$ для всех $R_i$.

Да, это сомнительно. Надо более аккуратно разложить в ряд Тейлора и там будет ещё кое-что. Впрочем, для больших $i$ это будет поправка следующего порядка малости, но её учёт не составит труда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 12:33 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
EUgeneUS в сообщении #1577739 писал(а):
Тут можно и нужно заметить, что $\frac{d}{R_i} = \frac{1}{i}$.

Я эту задачку сейчас в книжке нашел, и там указано, что $R\gg d$ - внутренний радиус цилиндра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 12:35 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
DimaM в сообщении #1577741 писал(а):
Я эту задачку сейчас в книжке нашел, и там указано, что $R\gg d$ - внутренний радиус цилиндра.


Это, конечно, важное замечание. Но
а) на ход решения влияет мало (это уточнение легко учитывается путем уточнения границ в сумме).
б) оценка через асимптоту получится гораздо более точной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 13:05 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
EUgeneUS
У меня оценка существенно зависит от того, как соотносятся величины $R$ и $nd$ ($n$ - число витков). Хотя подогнать к ответу не получается ни одним из способов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 15:05 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
DimaM
Проверим промежуточный результат.
Если $R$ - внутренний диаметр рулона, то количество витков конденсаторов у меня получилось такое (количество витков в два раза меньше):

$n = \pi [\sqrt{1 + \frac{4ld}{\pi R^2}} -1] \approx \frac{2ld}{R^2}$

-- 18.01.2023, 15:33 --

Далее, ёмкость единичного конденсатора оказалось, что не зависит от номера (в принятых ограничениях), и равна:
$C_i = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}}$

А полная ёмкость, соответственно:
$C = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \cdot \frac{2ld}{\pi R^2} = \frac{4 \varepsilon \varepsilon_0 l d a}{R^2\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \approx \frac{4 \varepsilon \varepsilon_0 l a}{R}$

-- 18.01.2023, 15:34 --

DimaM
А какой ответ в книжке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 16:20 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
оопс. :roll:

Выше у меня ошибка в приблизительном вычислении количества витков. Оно почему-то считается много меньше единицы, когда приближение применяется. Скорее наоборот, нужно считать, что количество витков заметно больше единицы. Тогда:

$n = \pi [\sqrt{1 + \frac{4ld}{\pi R^2}} -1] \approx \frac{2}{R} \sqrt {\pi ld}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 16:26 


18/09/21
1676
EUgeneUS в сообщении #1577786 писал(а):
Выше у меня ошибка
Да, ошибка.
Емкость должна быть $C \sim \frac{S}{d}=\frac{la}{d}$, что для плоского, что для свёрнутого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 18:43 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
zykov
Если рассмотреть совсем простой случай: толщина рулона сильно меньше "начального" радиуса $R$, то получаем такое:

1. Количество конденсаторов:
$2 \pi R n = 2 l$, тогда $n = \frac{l}{\pi R}$

2. Умножаем на ёмкость одного конденсатора и используем замечательный предел:

$C = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \cdot \frac{l}{\pi R} = \frac{2 \varepsilon \varepsilon_0 a l}{d}$

То есть в два раза больше ёмкости плоского конденсатора с той же площадью пластин. Что в общем-то понятно.

Сложности начинаются, если толщина рулона сравнима или больше начального радиуса $R$.

-- 18.01.2023, 18:51 --

UPD, можно, конечно, развить эту идею, и представить ёмкость "толстого" рулона, как сумму ёмкостей тонких рулонов. Тогда приходим ровно к тому же выражению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 18:53 


18/09/21
1676
EUgeneUS в сообщении #1577812 писал(а):
То есть в два раза больше ёмкости плоского конденсатора с той же площадью пластин
Это если между соседними витками расстояние малое (такое же $d$) и образуется ещё один такой же конденсатор.
Если расстояние между соседними витками большое (какая-нибудь там толстая изоляция), то ёмкость от свёртывания практически не изменится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение18.01.2023, 18:57 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
zykov в сообщении #1577813 писал(а):
Это если между соседними витками расстояние малое (такое же $d$) и образуется ещё один такой же конденсатор.
Если расстояние между соседними витками большое (какая-нибудь там толстая изоляция), то ёмкость от свёртывания практически не изменится.


Это, да.
Нам нужно сделать какое-то предположение о втором зазоре между пластинами, который образуется при свертывании пластин в рулон, раз уж этого нет в (приведенном) условии.

-- 18.01.2023, 19:29 --

И ещё небольшое замечание.
Вот это выражение:
EUgeneUS в сообщении #1577812 писал(а):
$C = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \cdot \frac{l}{\pi R} = \frac{2 \varepsilon \varepsilon_0 a l}{d}$

cправедливо для большого количества оборотов.

Можно сделать поправку, учитывающую, что внешняя и внутренняя поверхность рулона "участвует" не в двух конденсаторах, а в одном.
Тогда количество оборотов будет:
$k = \frac{l}{2 \pi R}$, а количество конденсаторов будет равно $n = 2k-1 = \frac{l}{\pi R} - 1$,
и в результате:
$C = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 a}{\ln{(1 + \frac{d}{R})}} \cdot (\frac{l}{\pi R} - 2)= \frac{2 \varepsilon \varepsilon_0 a}{d} (l - \pi R)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение19.01.2023, 14:45 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
EUgeneUS в сообщении #1577776 писал(а):
А какой ответ в книжке?

$$\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоский конденсатор свернули в рулон
Сообщение19.01.2023, 15:21 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
DimaM
Да, довольно странный ответ.
Получается ёмкость плоского конденсатора плюс некоторая добавка, которая может быть как сильно больше единицы, так и сильно меньше единицы....

ИМХО, такое может быть только в одном случае - второй зазор может сильно меняться.
Например, такой ход решения:

1. Каким-то образом определяем толщину второго зазора.
2. Добавляем к ёмкости плоского конденсатора ёмкость конденсатора, который образовался при сворачиывании в рулон.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group