2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Точная нижняя грань функционала
Сообщение17.01.2023, 19:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Классно! Всё стало совершенно понятно.

-- Вт янв 17, 2023 22:07:01 --

Ещё одна задача.
Рассмотрим функционал $J[y]=\int_0^1 f(x) y'^2dx$ с граничными условиями $y(0)=0$, $y(1)=1$. Доказать, что если неотрицательная функция $f(x) \in C^1([0, 1]) $ обращается в нуль в некоторой точке отрезка $[0, 1]$, то точная нижняя грань функционала $J[y]$ на множестве функций $y(x) \in C^1( [0, 1]) $ с указанными граничными условиями равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точная нижняя грань функционала
Сообщение17.01.2023, 22:26 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Ну это просто. Если $f(0)=0$ то в качестве последовательности надо взять $y_n=x^{1/n}$

-- 17.01.2023, 22:37 --

Если $f(x_0)=0\quad x_0\in(0,1)$ то $y_n=\frac{(x-x_0)^{1/n}}{(1-x_0)^{1/n}}$ при $x>x_0$ и $y_n=0$ при $x<x_0$

-- 17.01.2023, 22:40 --

$x_0=1$ -- по аналогии с первым случаем

 Профиль  
                  
 
 Re: Точная нижняя грань функционала
Сообщение19.01.2023, 10:07 


02/04/18
240
12d3 в сообщении #1577623 писал(а):
это длина кривой в полярных координатах

Простой же шаг, но его легче легкого проглядеть. Красиво. Интересно, насколько близко можно подойти к этому значению для бесконечно дифференцируемых функций? Как-то не выглядит очевидным.

Любопытный момент: есть две оценки инфимума, которые можно получить "в уме".
Верхняя уже указана выше, когда $y(x)$ - ступенька, интеграл для такой кривой равен $e^2+3$.
Нижнюю же можно найти, перейдя в пространство $(u; v)$ таким образом, что $u=e^x, \frac{dv/dx}{du/dx}=\frac{dy}{dx}$.
Тогда, с точностью до константы, $v(x)=y(x)e^x-\int\limits_{0}^{x}y(x)e^xdx$, и интеграл равен длине кривой от точки $(1; 0)$ до точки $(e^2; v(2))$. Эта длина не может превышать расстояния между кривыми $u=1, u=e^2$, то есть величины $e^2-1$. Разумеется, эта величина недостижима - ведь она требует $\frac{dv}{du}\equiv0$, откуда $y=\operatorname{const}$, что неверно.
А поразительный факт в том, что ответ на задачу - их среднее арифметическое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group