Точная нижняя грань функционала

[Padawan]

Классно! Всё стало совершенно понятно.

-- Вт янв 17, 2023 22:07:01 --

Ещё одна задача.
Рассмотрим функционал $J[y]=\int_0^1 f(x) y'^2dx$ с граничными условиями $y(0)=0$, $y(1)=1$. Доказать, что если неотрицательная функция $f(x) \in C^1([0, 1]) $ обращается в нуль в некоторой точке отрезка $[0, 1]$, то точная нижняя грань функционала $J[y]$ на множестве функций $y(x) \in C^1( [0, 1]) $ с указанными граничными условиями равна нулю.

[krum]

Ну это просто. Если $f(0)=0$ то в качестве последовательности надо взять $y_n=x^{1/n}$

-- 17.01.2023, 22:37 --

Если $f(x_0)=0\quad x_0\in(0,1)$ то $y_n=\frac{(x-x_0)^{1/n}}{(1-x_0)^{1/n}}$ при $x>x_0$ и $y_n=0$ при $x<x_0$

-- 17.01.2023, 22:40 --

$x_0=1$ -- по аналогии с первым случаем

[Dendr]

12d3 в сообщении #1577623 писал(а):

это длина кривой в полярных координатах

Простой же шаг, но его легче легкого проглядеть. Красиво. Интересно, насколько близко можно подойти к этому значению для бесконечно дифференцируемых функций? Как-то не выглядит очевидным.

Любопытный момент: есть две оценки инфимума, которые можно получить "в уме".
Верхняя уже указана выше, когда $y(x)$ - ступенька, интеграл для такой кривой равен $e^2+3$.
Нижнюю же можно найти, перейдя в пространство $(u; v)$ таким образом, что $u=e^x, \frac{dv/dx}{du/dx}=\frac{dy}{dx}$.
Тогда, с точностью до константы, $v(x)=y(x)e^x-\int\limits_{0}^{x}y(x)e^xdx$, и интеграл равен длине кривой от точки $(1; 0)$ до точки $(e^2; v(2))$. Эта длина не может превышать расстояния между кривыми $u=1, u=e^2$, то есть величины $e^2-1$. Разумеется, эта величина недостижима - ведь она требует $\frac{dv}{du}\equiv0$, откуда $y=\operatorname{const}$, что неверно.
А поразительный факт в том, что ответ на задачу - их среднее арифметическое.