Радиоактивный распад

[ihq.pl]

вроде бы ничего сложного, но берут сомнения. Такая задачка. Есть цепочка последовательных превращений $a \rightarrow b \rightarrow c$, т.е. $a$ постепенно превращается в $b$, а $b$ в $c$. Пусть $N_a(t), N_b(t), N_c(t)$ - количества $a, b, c$ в момент времени $t$ ($N_a(t)+N_b(t)+N_c(t)\equiv N$), и пусть в начальный момент $N_a(0)=N, N_b(0)=N_c(0)=0.$ Известно, что

$$dN_a(t)=-\lambda_a N_a(t)dt,$$

$$dN_b(t)=-\lambda_b N_b(t) dt.$$

Понятно, что $N_a(t)=Ne^{-\lambda_a t}.$ С величиной $N_b(t)$ всё не так очевидно и её требуется найти.

Решение. Обозначим $\delta N_b(t) = N_b(t+dt)-N_b(t)$. Здесь я использовал символ $\delta$, потому что величина $\delta N_b(t)$ не равна величине $dN_b(t)$, а является суммой двух величин: $-dN_a(t)$ и $dN_b(t)$. Первая из этих двух величин есть доля $a$, которая за время $dt$ превратилась в $b$; вторая - доля $b$, которая за то же время превратилось в $c$.
То есть

$$\delta N_b(t) = \lambda_aN_a(t)dt -\lambda_bN_b(t)dt,$$

и тогда

$$N_b(s) = \int_0^s\delta N_b(t).$$

Это верно?

[svv]

ihq.pl в сообщении #1577516 писал(а):

$$dN_b(t)=-\lambda_b N_b(t) dt.$$

Так лучше не писать, потому что дифференциал должен учитывать изменение $N_b$ как вследствие распада $b$, так и вследствие распада $a$. А тут учтён только первый фактор.

Скорость изменения $N_b$ равна разности скорости превращения $a$ в $b$ (приход) и скорости превращения $b$ в $c$ (расход). Первая равна $\lambda_a N_a(t)$, вторая $\lambda_b N_b(t)$, так что
$\begin{array}{l}N_a'(t)=-\lambda_a N_a(t)\\N_b'(t)=\lambda_a N_a(t)-\lambda_b N_b(t)\\N_c'(t)=\lambda_b N_b(t)\end{array}$
Сумма всех трёх производных равна нулю, как и требуется.

Учитывая, что $N_a(t)=Ne^{-\lambda_a t}$, получаем
$N_b'(t)+\lambda_b N_b(t)=\lambda_a Ne^{-\lambda_a t}$
Линейное неоднородное ДУ первого порядка с постоянными коэффициентами. Легко решается.

[ihq.pl]

svv в сообщении #1577517 писал(а):

Скорость изменения $N_b$ равна разности скорости превращения $a$ в $b$ (приход) и скорости превращения $b$ в $c$ (расход). Первая равна $\lambda_a N_a(t)$, вторая $\lambda_b N_b(t)$,

У меня тоже получился этот дифур, но не так хорошо
В "скоростях" надо было делать, конечно. Спасибо)