2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 04:04 


31/05/22
267
Здравствуйте, решаю задачу и вдруг стала интересна одна мысль. Допустим для простоты функции $g(x) f(x)$ положительны. И мы знаем что они в промежутке каком то дифференцируемы. Так же известно, что в начальной точке этого промежутка функции равны, а $f'(x) > f(x)$ $g'(x) = g(x)$. Интуиция подсказывает, что во всех точках промежутка кроме начальной, $f(x)>g(x)$. По формуле Коши можно так доказать для какой то достаточно малой окрестности, но как доказать, что это равносильно для всего промежутка?

-- 17.01.2023, 04:10 --

Пусть ещё производные будут непрерывны, чтобы всё таки через формулу коши доказательство работало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 04:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Я правильно понимаю, что в тексте дважды подразумевается союз "и" ?
Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):
Допустим для простоты функции $g(x)$ и $f(x)$ положительны. И мы знаем что они в промежутке каком то дифференцируемы. Так же известно, что в начальной точке этого промежутка функции равны, а $f'(x) > f(x)$ и $g'(x) = g(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 04:19 
Аватара пользователя


22/11/22
761
Maxim19
Далее (после расстановки союзов и запятых), хочется, чтобы было понятно,
Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):
а $f'(x) > f(x)$ $g'(x) = g(x)$
при каких $x$ это выполнено, при всех, при некоторых. И наконец, каких успехов достигли вы, решая все это. Или наоборот, неудач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 04:35 


31/05/22
267
Пусть это всё на отрезке $[a,b]$ и в точках $a$ и $b$ тоже есть производные этих двух функций, все условия относятся именно к этому отрезку и доказать надо, что на области $[a,b]$ кроме точки $a$ происходит такое $f(x)>f(x)$.

-- 17.01.2023, 04:40 --

В малых областях это можно установить, и в каждой точке той области тоже, но не факт, что такими областями можно затронуть весь отрезок. Думается мне, что можно применить теорему о равномерной непрерывности на отрезке. Например если бы для какой то точки можно всегда было в пределах этой точки увеличить $f(x)$ на константу, то по равномерной непрерывности можно было бы двигаться с шагами в константу, и выполняя неравенство $f(x)>g(x)$

-- 17.01.2023, 04:47 --

Я придумал

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 04:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Maxim19, прошу Вас всё-таки ответить на мой вопрос.

Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):
Допустим для простоты функции $g(x) f(x)$ положительны.
Здесь я вижу произведение функций $g(x)$ и $f(x)$.

Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):
функции равны, а $f'(x) > f(x)$ $g'(x) = g(x)$.
Здесь я вижу, что $f'(x)$ больше произведения $f(x)g'(x)$, которое равно $g(x)$.

Вы можете внести ясность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 05:05 


31/05/22
267
Теорему о равномерной непрерывности можно применить не только к функциям, Но ведь и к их производным. В области точки $a$ по формуле Коши мы нашли область справа, где $f(x)>g(x)$. Далее исходя из положительности функций следует их монотонность вверх и монотонность вверх у их производных. Пусть $x_0$ это та самая точка из области, тогда $b=f(x_0)-g(x_0)$ и $f'(x_0)-g'(x_0)>b>0$. Далее из равномерной непрерывности найдём такую область, чтобы во всех точках диаметром $d$ выполнялось $g(x+d)-g'(x)<b$. Теперь добавим функцию $f_0$, равную $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ и функцию $g_0$ равную $g(x_0)+f'(x_0+d)(x-x_0)$. И отсюда видно, что первая меньше своего оригинала, а вторая больше своего оригинала и всё это в окрестностях у точки $x_0$ не дальше $d$, ну и так как производная в этой окрестности больше второй, то получим на конце этой окрестности $f(x_0)-g(x_0)>b$, а значит и для производных аналогично, и так шагая по тем константам можно обойти весь отрезок [a,b]

-- 17.01.2023, 05:05 --

svv
Да, вы верно поняли, что там "и"

-- 17.01.2023, 05:06 --

Везде "и", где вы поставили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 05:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 05:08 


31/05/22
267
Можете оценить моё доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 05:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12911
Maxim19 в сообщении #1577502 писал(а):
Можете оценить моё доказательство?
Вы утвердили несколько утверждений относительно функции $f$ и отдельно относительно функции $g$. А потом вдруг, бабах! - $f>g$. С чего бы это? Они как-то связаны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 05:21 


31/05/22
267
В какой момент именно? Если вы про изначальный, то по формуле Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 05:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12911
Maxim19 в сообщении #1577506 писал(а):
В какой момент именно? Если вы про изначальный, то по формуле Коши.
Не притворяйтесь. Я смотрел ваши сообщения и пришёл к выводу, что вы способны говорить мысль словами о форум. В большинстве случаев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 05:34 


31/05/22
267
Что вы от меня хотите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 09:34 


05/09/16
12344
Утундрий в сообщении #1577504 писал(а):
Они как-то связаны?

Вроде же в первом посте написано, что
Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):
в начальной точке этого промежутка функции равны

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
Maxim19 в сообщении #1577499 писал(а):
Далее исходя из положительности функций следует их монотонность вверх и монотонность вверх у их производных
Монотонность производных не следует. $f'$ вполне может где-то убывать, оставаясь больше $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1442
Антарктика
По-моему, исходное утверждение -- простое следствие неравенства Гронуолла, только доказываемого для строгих неравенств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group