[ТВ] Задача о пассажирах в лифте и решение Вентцель

[rev]

Хочется разобраться в логике решения, предложенного Вентцель и Овчаровым для задачи 1.48
из их сборника задач по ТВ.
Формулировка задачи и решение из задачника:
На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятности выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найти вероятность того, что все трое вышли из лифта на разных этажах.
Число случаев - 6^3=216. Число способов, которыми можно распределить трёх пассажиров по шести этажам C_6^3=20. Ответ 20/216.

Ответ, видимо, неверный, так как пассажиры - "шары пронумерованные", и в числителе дроби стоит число размещений, а не сочетаний; надо умножить 20 на 3!=6.
Поскольку задача базовая и вроде как простая, то хочется спросить: может быть, авторы имели в виду что-то ускользнувшее от моего внимания? Иначе странный косяк для уважаемого учебника.

[antbez]

Мне кажется, что всё правильно, так как в числителе должно быть число именно сочетаний без повторений, так как все трое вышли из лифта на разных этажах.. Вот если бы было сказано, что "найти вероятность того, что они вышли на разных этажах" (может быть, не все), тогда повторение нужно было бы учесть!

[Brukvalub]

Думаю, Вы правы, говоря про ошибку в числителе дроби.

[rev]

Спасибо за мнения!

Вот, для сравнения, похожая задача 3.24 из книги А.Н.Бородина "Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики":
Лифт в девятиэтажном доме отправляется с четырьмя пассажирами. Найти вероятность того, что на каждом из этажей выйдет не более одного пассажира, предполагая равновероятность всех возможных способов распределения пассажиров по этажам.
Бородин приводит хороший ответ: P=A_8^4/8^4.
По-моему, задачи эквивалентны.

[PAV]

В учебнике ошибка. В числителе должно стоять $6\times 5\times 4$.

Ход решения может быть другим. Пусть люди пронумерованы заранее. Первый едет на какой-то из шести этажей. Нам нужно, чтобы второй ехал на какой-то из пяти оставшихся этажей, вероятность $\frac56$. А третий чтобы ехал на какой-то из четырех оставшихся этажей, вероятность $\frac46$. Эти две вероятности перемножаются.

[antbez]

Да, я не прав, и в первом примере перестановки логичнее сочетаний. Впрочем, если автор не указывает на "пронумерованность", всегда есть возможность толковать двояко...

[rev]

Разбор, проведённый PAV, делает решение более наглядным.
Будем надеяться, Вентцель больше не подведёт.