2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Радиус сходимости степенного ряда.
Сообщение16.01.2023, 01:07 


31/05/22
267
Здравствуйте, знаете формулу Коши-Адамара? Это формула радиуса степенного ряда. Я нигде не встречал формулу такую же, но заместо предела радикала предел отношения. Можно провести из предела отношения точно такое же доказательство, почему нигде не встречал такой аналогичной формулы. Я где-то ошибаюсь и признак Даламбера не подходит чтобы определить радиус сходимости?

-- 16.01.2023, 01:13 --

Ну вернее не признак Даламбера а идею, что вот с какого то момента следующий член выражается через какую то константу в какой то степени с погрешностью любой малости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус сходимости степенного ряда.
Сообщение16.01.2023, 05:19 
Аватара пользователя


22/11/22
759
Подходит с некоторыми поправками: нужно учитывать, что коэффициенты не обязаны быть ненулевыми при всех степенях. Так что проще отнестись к ряду как к числовому при фиксированной переменной и уже с ним работать с помощью признака Даламбера, выясняя в каких точках есть сходимость, а в каких ее точно нет.

Формулы вы не встречали потому, что в самом простом случае (то есть когда нет неприятностей с вычислением отношения коэффициентов и на ноль ничего не приходится делить) она выводится настолько же банально, насколько и формула Коши-Адамара. Чем оговаривать все "но", проще считать всякий раз в конкретной ситуации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус сходимости степенного ряда.
Сообщение16.01.2023, 07:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Maxim19 в сообщении #1577300 писал(а):
Я нигде не встречал формулу такую же, но заместо предела радикала предел отношения.

Это очень странно. Всем ежам известна как формула $R=\frac1{\lim\sqrt[n]{|a_n|}}$, так и формула $R=\lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ (ровно так же известна; при условии, конечно, что пределы существуют). Причём вторая формула практически значимее, т.к. возиться с корнями обычно сложнее, чем с отношениями. Другой вопрос, что первая формула после замены просто предела на верхний предел становится безоговорочной, а вот второй подобная универсальность не свойственна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: teleglaz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group