Радиус сходимости степенного ряда.

[Maxim19]

Здравствуйте, знаете формулу Коши-Адамара? Это формула радиуса степенного ряда. Я нигде не встречал формулу такую же, но заместо предела радикала предел отношения. Можно провести из предела отношения точно такое же доказательство, почему нигде не встречал такой аналогичной формулы. Я где-то ошибаюсь и признак Даламбера не подходит чтобы определить радиус сходимости?

-- 16.01.2023, 01:13 --

Ну вернее не признак Даламбера а идею, что вот с какого то момента следующий член выражается через какую то константу в какой то степени с погрешностью любой малости.

[Combat Zone]

Подходит с некоторыми поправками: нужно учитывать, что коэффициенты не обязаны быть ненулевыми при всех степенях. Так что проще отнестись к ряду как к числовому при фиксированной переменной и уже с ним работать с помощью признака Даламбера, выясняя в каких точках есть сходимость, а в каких ее точно нет.

Формулы вы не встречали потому, что в самом простом случае (то есть когда нет неприятностей с вычислением отношения коэффициентов и на ноль ничего не приходится делить) она выводится настолько же банально, насколько и формула Коши-Адамара. Чем оговаривать все "но", проще считать всякий раз в конкретной ситуации.

[ewert]

Maxim19 в сообщении #1577300 писал(а):

Я нигде не встречал формулу такую же, но заместо предела радикала предел отношения.

Это очень странно. Всем ежам известна как формула $R=\frac1{\lim\sqrt[n]{|a_n|}}$, так и формула $R=\lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ (ровно так же известна; при условии, конечно, что пределы существуют). Причём вторая формула практически значимее, т.к. возиться с корнями обычно сложнее, чем с отношениями. Другой вопрос, что первая формула после замены просто предела на верхний предел становится безоговорочной, а вот второй подобная универсальность не свойственна.