Найти сумму ряда.

[Maxim19]

Здравствуйте, требуется найти сумму ряда:

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2}{n!}$$

. Спойлер: все сайты где ряды делаются говорят, что он стремится к $\frac{-1}{e}$ но не показывают почему. В знаменателе факториал конечно даёт намёки на ряд Тейлора, но причём тут $\frac{-1}{e}$? Я попробовал просуммировать пары, вдруг получится в числителе избавиться от n, не получается. Что не вижу?

[mihaild]

Такие штуки делаются через ряды Тейлора. Напишите ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2 x^n}{n!}$ и проинтегрируйте его почленно.

[Maxim19]

Всё сделал, но не понял для чего это нужно. Можно ещё одну подсказку?

-- 15.01.2023, 23:07 --

Из за $(n+1)^2$ члены после интегрирования не сместились как бы сменив знак всего ряда. Да и к тому же непонятно как этот ряд связать с функцией от x, опять же из за $(n+1)^2$

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1577272 писал(а):

Всё сделал, но не понял для чего это нужно

А покажите, что получилось.
Ну и заодно подставьте в написанный мной ряд $x = 1$.

[Maxim19]

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2x^{n+1}}{(n+1)!}$$

вот такой ряд

[mihaild]

Правильно. А теперь, как можно упростить $\frac{(n + 1)^2}{(n + 1)!}$?

[Maxim19]

$\frac{n+1}{n!}$

[mihaild]

Правильно. Какой ряд получается в итоге?
Можно ли как-то, проделав этот трюк еще раз, избавиться и от оставшегося $n + 1$?

[Maxim19]

Ну можно например $\frac{n+1}{n!}$ представить как $\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}$ тогда получается, что все члены кроме первого и "последнего" сокращаются.

[mihaild]

Да, так даже проще, чем то, что я думал (специфический для задачи способ лучше универсального). В итоге, сумму ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2x^{n+1}}{(n+1)!}$ посчитать сможете? И выразить из неё сумму исходного ряда.

[Maxim19]

Сумма проинтегрированного ряда в точке 1 равна нулю. Как из этой суммы выразить сумму исходного ряда?

[mihaild]

Посчитать её в точке недостаточно, нужно посчитать её как функцию от $x$. В итоге у нас есть:

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2x^{n+1}}{(n+1)!}$$

$$g(x) =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2 x^n}{n!}$$

$$S = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)^2}{n!}$$

$g(x)$ вы должны суметь посчитать. Дальше, есть простая связь между $g(x)$ и $f(x)$, а так же $S$ и $f(x)$.

[Maxim19]

Может вы имели ввиду, что должен посчитать $f(x)$? Всё же из за этого интегрировали $g(x)$
Я надеюсь, что это не уйдёт к рядам Фурье и так далее. Не в точке 1 функцию $f(x)$ я посчитать не смогу, то преобразование имеет место быть только если $x^n=x^{n+1}$

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1577293 писал(а):

Может вы имели ввиду, что должен посчитать $f(x)$?

Да, вы правы, посчитать $f(x)$. Вроде бы у вас это получилось сведением ряда к телескопическому.
Дальше это никуда не идет, оставшиеся сведения совсем простые.

[pupugai]

По-моему, тут можно обойтись без интегрирования/дифференцирования. Просто раскрыть скобки, сократить то, что сокращается, а где не сокращается использовать трюк в сообщении #1577281, тогда получаться несколько рядов Тейлора для $e^{-1}$ с разными знаками.