Теорема сравнения рядов.

[Maxim19]

Здравствуйте, вы наверняка знаете: если есть предел $\frac{a_n}{b_n}=x$ для членов двух неотрицательных рядов, то сходимость/расходимость одного говорит о поведении другого. В доказательстве используют от предела лишь то, что с какого то $n$ значение того частного будет не больше $x+y$ где $y>0$. Зачем тогда говорить о пределе? Можно же ослабить требования и сказать об ограниченности того отношения?

-- 13.01.2023, 01:08 --

Разве $a_n$ является неотрицательным рядом?

[mihaild]

Чтобы получить в обе стороны - надо чтобы частное было отделено от нуля и от единицы. Но предел действительно не нужен. А где вы взяли формулировку с пределом?

[Maxim19]

В Фихтенгольце

-- 13.01.2023, 01:13 --

Почему частное не должно быть единицей?

[thething]

Maxim19 в сообщении #1576895 писал(а):

Зачем тогда говорить о пределе?

Предел во многих случаях проще найти, чем устанавливать двусторонние оценки.

[ewert]

Maxim19 в сообщении #1576895 писал(а):

Зачем тогда говорить о пределе? Можно же ослабить требования и сказать об ограниченности того отношения?

Можно. Просто это будет другой признак сравнения (и он тоже есть, аккурат перед этим): если $a_n\leqslant b_n$, то из сходимости ряда для $b_n$ следует сходимость ряда для $a_n$.