Как показать, что это распределение Пуассона?

[Verbery]

Всем привет! Имею задачу:

Consider a chandelier with $n$ electric light bulbs, where every light bulb $i$ burns out independently after random time $T_i \sim Exp(\lambda_i)$. Burnt out light bulb is immediately replaced with an identical new one (it has same life expectancy distribution). Show that the number of burn outs of light bulb $i$ until time $s$ is distributed as $Pois(\lambda_i s)$

Если что вот перевод:
Имеется люстра с $n$ лампочками, где каждая лампочка $i$ перегорает в случайное время $T_i \sim Exp(\lambda_i)$. Лампочка мгновенно заменяется на идентичную (новая лампочка имеет тоже самое время работы). Покажите, что число выгоревших лампочек $i$ до момента времени $s$ распределено как $Pois(\lambda_i s)$
-----
Среднее время, за которое перегорает лампочка: $\frac{1}{\lambda_i}$ (взял матожидание от $Exp(\lambda_i)$), тогда за время $s$ перегорит $\frac{s}{1 / \lambda_i}=s \lambda_i$ лампочек в одном флаконе. Дальше требуют показать, что распределение количества выгоревших ламп в одном флаконе распределяется по $Pois(\lambda_i s)$, но я не совсем понимаю как это показывать? Можно кто подсказать каким способом можно это показать? Вообще немного напоминает процесс Пуассона

[ShMaxG]

Да, это непосредственно связано с процессом и потоком Пуассона. Введите случайную величину $N_t$, равную числу перегоревших лампочек класса $i$ в интервале времени $[0,t)$ и вычислите вероятность $\mathbb{P}(N_t=k)$ в терминах случайных величин $\xi_j\in\mathrm{Exp}(\lambda_i)$. То есть попробуйте понять, что значит, что на интервале $[0,t)$ произошло ровно $k$ событий, через времена работы лампочки $i$-го класса. Может быть проще будет вычислить вероятность $\mathbb{P}(N_t \ge k)$, которую можно связать с нужной вероятностью.

[Verbery]

Что-то я не могу сообразить, как довести решение до конца, всё время полный бред выходит. Одна из идей решения была такой: раздробим промежуток времени $s$ на кусочки типа так: $\frac{1}{s}$ и объявим, что вероятность успешного события - это $p$. Так как события соответствуют испытаниям Бернулли, то успешное выполнение $k$ событий - это $p^k$. По условию $p$ - это $\lambda_i \exp(-\lambda_i t)$ (переписал формулу плотности экспоненциального распределения). Дальше я хотел написать что-то на подобии такой формулы:

$$\binom{s}{k} Exp(\lambda_i \frac{1}{s})^k (1 - Exp(\lambda_i \frac{1}{s}))^{s-k}$$

Думал, что дальше при $s \to \infty$ это выражение преварится в формулу Пуассона, но там проблема в биномиальном коэффициенте $k$ может быть больше, чем $s$ да и вообще $s$ - это не натуральное число. Не подскажите направление хотя бы верное?

[ShMaxG]

Я же вам сказал, как надо делать, там в пару действий ответ получается, а вы свое что-то выдумываете. Я вам предлагаю стандартный подход, который используется при исследовании пуассоновского процесса или потока.

Пусть $\xi_1$, $\xi_2$, ..., $\xi_k$, ... -- длительности времени, в течение которых работает лампа $i$-го класса. По условию эти времена независимы и одинаково распределены как $\mathrm{Exp}(\lambda_i)$. Пусть $N_t$ -- число поломок такой лампы на интервале $[0,t)$.

Рассмотрим событие $\{N_t \ge k\}$ для произвольного $k\ge1$. Событие $\{N_t \ge k\}$ означает, что число поломок лампы на интервале $[0,t)$ было не меньше $k$. Перепишите это событие в терминах $\xi_j$ и вычислите вероятность $\{N_t \ge k\}$. Оттуда до ответа рукой подать, потому что по сути вы найдете $1-F_{N_t}(k)$, где $F_{N_t}(k)$ - функция распределения случайной величины $N_t$. Отсюда можно получить функцию вероятности.

Можно также рассмотреть событие $\{N_t = k\}$. Это событие означает, что число поломок лампы на интервале $[0,t)$ в точности равно $k$. Это событие тоже можно переписать в терминах $\xi_j$ и вычислить вероятность $\{N_t = k\}$. Тогда мы сразу получим функцию вероятности $N_t$.

Не знаю, какой из способов проще. В первом случае там вылезают неберущиеся интегралы (гамма-функции), но при расчете функции вероятности они сокращаются. Во втором случае нужно воспользоваться формулой полной вероятности, но вполне нормально решается.

[Verbery]

Снова дошли руки до этой задачи и снова не представляю как вычислить:

ShMaxG в сообщении #1576210 писал(а):

и вычислите вероятность $\{N_t \ge k\}$

У нас лампы горят последовательно друг за другом, тогда событие $\{N_t \ge k\}$ включает в себя события, что суммарное время жизни $k$ ламп меньше $s$, либо суммарное время жизни $k+1$ лампы меньше $s$, ..., либо суммарное время жизни $k+\infty$ ламп меньше $s$ и тд., но непонятно как включить всё разнообразие возможных промежутков времени, только составлять их совместную плотность что ли. Можно сказать, что если $k$ ламп выгорело до момента времени $s$, то имеет место $(1 - e^{-\lambda_i s})^k$, то есть все лампы имели время жизни меньшее, чем $s$, но очевидно, что это не описывает вероятность нашего случая, так как это не гарантирует, что сумма времени жизни не вышла за рамки $s$. Как-то это можно расписать через $p^k$?

Можно ещё просто сказать, что распределение Пуассона у нас описывает вероятность отклонения от среднего количества событий за единицу времени, а среднее у нас это количество событий за $s$, то есть $\lambda_i s$, поэтому тут наш случай можно описать распределением Пуассона с параметром $\lambda_i s$,

[ShMaxG]

Verbery в сообщении #1576601 писал(а):

У нас лампы горят последовательно друг за другом, тогда событие $\{N_t \ge k\}$ включает в себя события, что суммарное время жизни $k$ ламп меньше $t$ [испр. мной]

а дальше хоть трава не расти, все равно что там с $k+1$, $k+2$ и другими. Событие $\{N_t \ge k\}$ равносильно тому, что в интервале времени $[0,t)$ уместились времена $k$ ламп. Таким образом

$$\mathbb{P}(N_t \ge k)=\mathbb{P}(\xi_1+\dots+\xi_k < t), \ \xi_j\in\mathrm{Exp}(\lambda_i).$$