Я же вам сказал, как надо делать, там в пару действий ответ получается, а вы свое что-то выдумываете. Я вам предлагаю стандартный подход, который используется при исследовании пуассоновского процесса или потока.
Пусть

,

, ...,

, ... -- длительности времени, в течение которых работает лампа

-го класса. По условию эти времена независимы и одинаково распределены как

. Пусть

-- число поломок такой лампы на интервале

.
Рассмотрим событие

для произвольного

. Событие

означает, что число поломок лампы на интервале

было не меньше

. Перепишите это событие в терминах

и вычислите вероятность

. Оттуда до ответа рукой подать, потому что по сути вы найдете

, где

- функция распределения случайной величины

. Отсюда можно получить функцию вероятности.
Можно также рассмотреть событие

. Это событие означает, что число поломок лампы на интервале
в точности равно

. Это событие тоже можно переписать в терминах

и вычислить вероятность

. Тогда мы сразу получим функцию вероятности

.
Не знаю, какой из способов проще. В первом случае там вылезают неберущиеся интегралы (гамма-функции), но при расчете функции вероятности они сокращаются. Во втором случае нужно воспользоваться формулой полной вероятности, но вполне нормально решается.