2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение07.01.2023, 21:33 


07/01/23
8
Пользуясь критерием Коши доказать расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^2+4}$
По определению: Для расходимости ряда $\sum a_n$ необходимо и достаточно, чтобы существовало $\varepsilon$ такое, что для любого $n_0\geqslant 1$ найдутся натуральные $n>n_0$ и $p$, для которых справедливо неравенство $\Big|\sum\limits_{m=n+1}^{n+p}a_m \Big|\geqslant \varepsilon$
Рассмотрим:
$\Big|\frac{n+2}{{(n+1)}^2+4}+...+\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|\geqslant\Big|\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|\geqslant\Big|\frac{2n}{{(2n)}^2+4}\Big|{>}\frac{1}{n^3}{>}\varepsilon$
Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, что я сделала не так?
Ведь получившийся $\frac{1}{n^3}$ не должен быть больше $\varepsilon$?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.01.2023, 21:35 
Админ форума


02/02/19
2027
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:
- наберите формулы, и в задании тоже. Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.01.2023, 12:49 
Админ форума


02/02/19
2027
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 12:51 
Заслуженный участник


12/08/10
1623
OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):
Ведь получившийся $\frac{1}{n^3}$ не должен быть больше $\varepsilon$?
Должен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 12:58 


07/01/23
8
Null в сообщении #1576489 писал(а):
OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):
Ведь получившийся $\frac{1}{n^3}$ не должен быть больше $\varepsilon$?
Должен.

Подскажите, пожалуйста, какой $\varepsilon$ тут можно было бы подобрать?
Или мое решение совсем, получается, не верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 13:04 
Заслуженный участник


12/08/10
1623
OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):
$\Big|\frac{n+2}{{(n+1)}^2+4}+...+\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|\geqslant\Big|\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|$
Вот это неравенство слишком слабое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 13:52 


07/01/23
8
Null в сообщении #1576491 писал(а):
OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):
$\Big|\frac{n+2}{{(n+1)}^2+4}+...+\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|\geqslant\Big|\frac{n+p}{{(n+p)}^2+4}\Big|$
Вот это неравенство слишком слабое.

Я еще раз посмотрела, как можно оценить в меньшую сторону, но ничего не выходит. Так или иначе все ведет к $\frac 1{n^a}$, где ${a}$ больше единицы. Не могли бы вы подсказать, как следует оценить неравенство в самом начале?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 13:58 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Давайте докажем расходимость ряда $\sum\frac{1}{n}$. Так проще как-то.

-- 08.01.2023, 14:07 --

OilKotleta в сообщении #1576495 писал(а):
енить в меньшую сторону, но ничего не выходит. Так или иначе все ведет к $\frac 1{n^a}$, где ${a}$ больше единицы. Не могли бы вы подсказать, как следует оценить неравенство в самом начале?

так
$$\frac{n+1}{n^2+4}\ge \frac{C}{n},\quad C>0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 14:13 


07/01/23
8
OilKotleta в сообщении #1576495 писал(а):
енить в меньшую сторону, но ничего не выходит. Так или иначе все ведет к $\frac 1{n^a}$, где ${a}$ больше единицы. Не могли бы вы подсказать, как следует оценить неравенство в самом начале?

так
$$\frac{n+1}{n^2+4}\ge \frac{C}{n},\quad C>0$$
В итоге, я к этому и пришла, однако меня и смущает получившееся неравенство. Почему мы утверждаем, что оно больше эпсилон? Значит должен существовать эпсилон, но какой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 14:24 
Аватара пользователя


11/11/22
304
$$1/n\ge 1/x,\quad x\in [n,n+1]$$ интегрируйте по $x$ неравество от $n$ до $n+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 14:32 


07/01/23
8
krum в сообщении #1576500 писал(а):
$$1/n\ge 1/x,\quad x\in [n,n+1]$$ интегрируйте по $x$ неравенство от $n$ до $n+1$

Проинтегрирую, а зачем?

$$\frac xn\ge\ln{x},\quad x\in [n,n+1]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 14:57 
Заслуженный участник


12/08/10
1623
OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):
Пользуясь критерием Коши доказать расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^2+4}$
krum в сообщении #1576500 писал(а):
интегрируйте по $x$ неравество от $n$ до $n+1$
Так не надо. Это другой метод
OilKotleta в сообщении #1576495 писал(а):
Я еще раз посмотрела, как можно оценить в меньшую сторону, но ничего не выходит.
Прочитайте как доказывается что сумма $\frac{1}{n}$ расходиться(есть во многих учебниках). Здесь нужно сделать то же самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 15:02 
Аватара пользователя


29/12/22

7
Львов
А просто оценить используя что $|\frac{n+2}{(n+1)^2+4}| > |\frac{n+2}{(n+p)^2+4}|$ и так для каждого члена суммы и положить $p = 2N$ или чему там

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 15:05 


07/01/23
8
Null в сообщении #1576507 писал(а):
OilKotleta в сообщении #1576450 писал(а):
Пользуясь критерием Коши доказать расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^2+4}$
krum в сообщении #1576500 писал(а):
интегрируйте по $x$ неравество от $n$ до $n+1$
Так не надо. Это другой метод
OilKotleta в сообщении #1576495 писал(а):
Я еще раз посмотрела, как можно оценить в меньшую сторону, но ничего не выходит.
Прочитайте как доказывается что сумма $\frac{1}{n}$ расходиться(есть во многих учебниках). Здесь нужно сделать то же самое.

Поняла, благодарю

-- 08.01.2023, 15:06 --

fbz2000 в сообщении #1576509 писал(а):
А просто оценить используя что $|\frac{n+2}{(n+1)^2+4}| > |\frac{n+2}{(n+p)^2+4}|$ и так для каждого члена суммы и положить $p = 2N$ или чему там

Я так и делала, вопрос у меня был в результате.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пользуясь Критерием Коши доказать расходимость ряда
Сообщение08.01.2023, 15:13 


22/11/22
445
OilKotleta в сообщении #1576511 писал(а):
Я так и делала, вопрос у меня был в результате.

И заменяли всю сумму одним слагаемым. А их больше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group