Сумма цифр числа 99999N

[rightways]

Пусть $N$ и $k$ натуральные числа такие, что $10^k>N+1$. Докажите, что сумма цифр числа $(10^k-1)N$ равна $9k$.

[zykov]

Там просто.
$(10^k-1)N=10^k N - N=10^k (N-1) + (10^k - N)=$
$=10^k (N-1) + ((10^k-1) - (N-1))$
При этом количество цифр в $N$ не больше $k$.
Т.е. вначале идут цифры "9 минус цифра $(N-1)$", потом могут идти цифры 9 до общего количества $k$.
Потом идут цифры числа $(N-1)$.
Если сложить поразрадяно цифры "9 минус цифра $(N-1)$" и $(N-1)$, то будут цифры 9 в количестве равном количеству разрядов. Плюс ещё оставшиеся девятки до количества $k$.
Т.е. в итоге сумма цифр $9k$.

[iifat]

Может, это лично я такой тупой, но понял очень не сразу:

zykov в сообщении #1576149 писал(а):

вначале

Имеется в виду то начало, которое справа ;)

[zykov]

iifat
Да, от младших разрядов к старшим.