Теоретико множественные заморочки в теории категорий

[EminentVictorians]

В теории категорий довольно часто встречается слово "малый" в разных склонениях. Например,

1) Категория $\operatorname{Grp}$ - это не просто категория всех групп, а категория малых групп. Я так понимаю, что малая группа - это просто группа, множество-носитель которой можно построить средствами $\operatorname{ZFC}$.
2) $\operatorname{Set}$ - это тоже не категория всех множеств, а категория именно малых множеств (т.е. все эти множества входят как объекты в некоторый универсум $U$).
3) Локально малые категории - это категории, у которых все $\operatorname{hom}$-множества являются множествами (т.е. входят в универсум $U$; $U$ - это универсум $ZFC$?).
4) Категория называется полной в малом, если в ней существует предел любой малой диаграммы. Т.е. категория индексов $J$ опять не произвольная, а малая.
5) Категория называется малой в смысле подобъектов, если для любого ее объекта $a$ существует биекция между всеми его подобъектами и некоторым малым множеством. (насколько я понимаю, малое множество - это множество, которое можно построить средствами $\operatorname{ZFC}$)

И есть, например, специальная теорема о сопряженном функторе:

Пусть категория $A$ полна в малом, мала в смысле подобъектов, имеет малые $hom$-множества и малое копорождающее множество, а категория $X$ имеет малые $hom$-множества. Тогда функтор $G: A \to X$ имеет левый сопряженный, если и только если он непрерывен.

А непрерывный функтор - это функтор, сохраняющий все малые пределы.



Я с самого начала книги относился ко всем этим вхождениям слова "малый" не как к чему-то супер существенному, а просто как к оговоркам, вызванным той необходимостью, что в математике есть консенсус по поводу уровня строгости. В том смысле, что строгим считается то, что можно формализовать в $\operatorname{ZFC}$ (или $NBG$ - неважно).

Но если я не фанат $ZFC$? И не фанат вообще всех формальных теорий множеств. Я нахожусь в наивной теории множеств и всем доволен. Поэтому для меня все категории автоматически являются локально малыми, все категории малы в смысле подобъектов, все копорождающие множества малы и так далее.

Для меня теорема о сопряженном функторе звучит вообще элементарно: $G$ имеет левый сопряженный $\Longleftrightarrow$ он непрерывен.


Я готов пожертвовать тем, что доказательства не получится формализовать в $ZFC$ или какой-то другой формальной теории множеств.

Мой вопрос в том, много ли я потеряю, если буду мыслить подобным образом. Может быть известны теоретико категорные парадоксы с участием каких-нибудь больших категорий? Или может быть известны какие-то более веские проблемы такого подхода, нежели неформализуемость доказательств в $ZFC$?

А то специальная теорема о сопряженном функторе (в моей формулировке) звучит настолько просто, что здесь не может обойтись без подвоха.

[Padawan]

Множество всех множеств. Категория всех категорий.

-- Чт дек 29, 2022 00:00:36 --

(Оффтоп)

Кстати, Вы так и не ответили на вопрос

krum в сообщении #1574654 писал(а):

Ну, а, если, скажем, я со всем уважением, разумеется, и очень вежливо, вдруг спрошу топикстартера, а сколько будет

$$\varlimsup_{x\to\infty}\Big(x\int_x^\infty \cos(s^2)ds\Big)=?$$

Не всеже общематематические проблемы решать, можно и перекур устроить, о пустяках поговорить...

А народ ждёт.

-- Чт дек 29, 2022 00:04:09 --

EminentVictorians в сообщении #1575402 писал(а):

Я нахожусь в наивной теории множеств и всем доволен.

Это плохо. Всем довольны только слабоумные.

[EminentVictorians]

Padawan в сообщении #1575404 писал(а):

Множество всех множеств.

Для меня оно не существует не потому что его нельзя построить в $ZFC$, а потому что оно демонстрирует парадокс, формулируемый на обычном (не формальном) математическом языке.

Про категорию всех категорий знаю. Тут просто дело вот в чем. Я не уверен, что "плохость" множеств связана только с их "размером". Возможно, может случиться так, что "не очень большое", но плохо определенное (например, с какими-нибудь взаимозависимыми частями в определении) множество для меня будет хуже большого, но при этом более "регулярного" множества. Иными словами, моя личная интуитивная теория множеств даже не факт что на 100% совпадает с канторовской (для меня могут не существовать некоторые множества не из-за их размера, а из-за их "плохоопределенности"; но я не настаиваю на том, что мое понимание множеств какое-то удачное, поэтому для удобства предлагаю ограничиться канторовским).

Интересуют ситуации, когда обычные теоретико категорные теоремы приведут к очевидно ложному результату, если мы перестанем брать в расчет фигурирующие в них "ограничения на малость".

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1575406 писал(а):

Для меня оно не существует не потому что его нельзя построить в $ZFC$

Если точнее, я хотел сказать не про "построить в $ZFC$", а про "существовать в $ZFC$".

[Doctor Boom]

Padawan в сообщении #1575404 писал(а):

Это плохо. Всем довольны только слабоумные

Это хорошо, голова не чердак (с)

[warlock66613]

EminentVictorians в сообщении #1575406 писал(а):

для удобства предлагаю ограничиться канторовским

Вы потеряете слишком много множеств, которые определены в ZFC, но не в наивной теории множеств. Так, без аксиомы объединения неочевидно, существует ли для любого множества множеств объединение всех его элементов. Так как в случае бесконечного множества может быть затруднительно указать для произвольного объекта, входит ли оно в объединение или нет — перебором это не проверить. А если вы не можете сказать, что в множество входит, а что нет — значит у вас нет множества.

[EminentVictorians]

warlock66613 в сообщении #1575596 писал(а):

Вы потеряете слишком много множеств, которые определены в ZFC, но не в наивной теории множеств.

А мне казалось, что в $ZFC$ множеств "меньше", чем в наивной теории множеств. Т.е. в наивной теории у нас есть все синтаксически корректно определенные множества (кроме тех, про которые мы знаем, что они влекут парадоксы - типа расселовского множества или множества всех кардиналов). А средствами формальной теории мы ограничиваем этот ничем не ограниченный универсум множеств из наивной теории. Я так думал.

warlock66613 в сообщении #1575596 писал(а):

Так, без аксиомы объединения неочевидно, существует ли для любого множества множеств объединение всех его элементов. Так как в случае бесконечного множества может быть затруднительно указать для произвольного объекта, входит ли оно в объединение или нет — перебором это не проверить.

Не знаю, мне казалось, что в наивной теории такое множество существует без всяких аксиом. Просто так и произносим: "рассмотрим объединение данного семейства множеств".

Часто ведь так бывает, что мы установили факт существования и непустоты некоторого множества косвенными методами. Для отдельного объекта действительно может быть затруднительно указать, входит оно в это множество или нет: может не быть ни алгоритма, ни критерия, ни перебором не получится. Но множество ведь не перестает при этом быть корректно определенным (с точки зрения наивной теории множеств).

[warlock66613]

EminentVictorians в сообщении #1575604 писал(а):

мне казалось, что в наивной теории такое множество существует без всяких аксиом. Просто так и произносим: "рассмотрим объединение данного семейства множеств"

Никакой объект ни в какой теории, применимой в математике, не может существовать просто так. Если можно просто так — то и с множеством всех множеств, не являющихся собственным элементом тоже можно.

EminentVictorians в сообщении #1575604 писал(а):

А мне казалось, что в $ZFC$ множеств "меньше", чем в наивной теории множеств.

Когда придумывали ZFC уж никак не хотели сделать множеств меньше, наоборот искали как максимум того, о чём хочется рассуждать интуитивно, запихнуть в непротиворечивую теорию.

[EminentVictorians]

warlock66613 в сообщении #1575606 писал(а):

Если можно просто так — то и с множеством всех множеств, не являющихся собственным элементом тоже можно.

Это же и есть расселовское множество. Оно не является множеством в наивной теории потому что есть парадокс с его участием. Таких множеств можно по пальцам пересчитать. Их нету, а все остальные есть.

warlock66613 в сообщении #1575606 писал(а):

Когда придумывали ZFC уж никак не хотели сделать множеств меньше, наоборот искали как максимум того, о чём хочется рассуждать интуитивно, запихнуть в непротиворечивую теорию.

Странно, я никогда такой трактовки не слышал. Всегда думал, что $ZFC$ придумали, чтобы ограничить фантазию и чтобы дать средства работы с множествами, которые не будут приводить к известным парадоксам.

Я подозреваю, что под словосочетанием "наивная теория множеств" мы имеем в виду сильно разные вещи. Можно узнать, что вкладываете в это Вы?

-- 30.12.2022, 00:55 --

И более того, мы не уверены в непротиворечивости $ZFC$.

[warlock66613]

Вообще если говорить не о канторовских и доканторовских временах, а о современности, наивная теория множеств — это скорее не "да ну её, эту ZFC", а "я уверен, что при некотором усилии это формализуется в ZFC-like с необходимым уровнем строгости".

Например, зачастую говорят об упорядоченной паре объектов, которые не являются множествами, а являются собственно классами. Но если упорядоченная пара предполагается смоделированной теорией множеств, то ведь в теории множеств классы не могут быть элементами множества! Тем не менее, ясно что это на самом деле не проблема, так как есть куча способов решения: можно вместо пары классов рассматривать пару соответствующих им праэлементов; можно использовать пару немоделированную; можно рассмотреть иерархию универсумов в ZFC и взять пару из правильного универсума, можно рассмотреть теорию множеств с классами и с третьим уровнем иерархии (множество, класс, совокупность). В общем разнообразие вариантов, и на практике можно просто сказать "упорядоченная пара классов" и не париться.

Вот такое положение дел по-моему и есть "современная наивная теория множеств".

-- 30.12.2022, 02:09 --

EminentVictorians в сообщении #1575607 писал(а):

Я подозреваю, что под словосочетанием "наивная теория множеств" мы имеем в виду сильно разные вещи. Можно узнать, что вкладываете в это Вы?

Некое представление о множествах, существовавшее в головах математиков во времена, когда Кантор представил своё учение о множествах. Во времена — то есть незадолго до этого (времена формализации матанализа и теории действительных чисел) и незадолго после (пока не устаканилась аксиоматизация).

-- 30.12.2022, 02:13 --

EminentVictorians в сообщении #1575607 писал(а):

мы не уверены в непротиворечивости $ZFC$

Я не думаю, что найдётся много математиков, которых это хоть сколько-нибудь беспокоит.

-- 30.12.2022, 02:17 --

EminentVictorians в сообщении #1575607 писал(а):

Оно не является множеством в наивной теории потому что есть парадокс с его участием.

Оно не является множеством, потому что нельзя сказать является ли оно собственным элементом. И это превращается в парадокс (в утверждение о несуществовании) ровно в тот момент, когда мы говорим "для всякой вещи должно быть определено, входит ли оно в множество или нет". Если последнее требование не накладывается — так и нет проблемы. Ну да, получили что оно в себя и входит и нет, ну и ладно.

[EminentVictorians]

warlock66613 в сообщении #1575608 писал(а):

Некое представление о множествах, существовавшее в головах математиков во времена, когда Кантор представил своё учение о множествах.

Просто я под "наивной теорией множеств" имел в виду ничем не ограниченный универсум множеств (ну ограниченный разве что известными парадоксами; т.е. ничем не ограниченный минус ~5 множеств типа расселовского). Такой универсум, в котором, например, существует множество всех групп.

warlock66613 в сообщении #1575608 писал(а):

Ну да, получили что оно в себя и входит и нет, ну и ладно.

Противоречие с законом исключенного третьего. А это имхо очень фундаментальная штука.

-- 30.12.2022, 01:36 --

warlock66613 в сообщении #1575608 писал(а):

Тем не менее, ясно что это на самом деле не проблема, так как есть куча способов решения: можно вместо пары классов рассматривать пару соответствующих им праэлементов; можно использовать пару немоделированную; можно рассмотреть иерархию универсумов в ZFC и взять пару из правильного универсума, можно рассмотреть теорию множеств с классами и с третьим уровнем иерархии (множество, класс, совокупность). В общем разнообразие вариантов

А зачем оно все надо, в чем конечная цель? Убедиться, что некоторое рассуждение можно написать на некотором специальном языке?

Лично меня доказательство убеждает не потому что оно проверяется каким-нибудь автопрувером в какой-нибудь формальной теории множеств, а просто потому что я понимаю все логические шаги в этом доказательстве. Дак какой тогда смысл тратить столько калорий и постоянно проверять те же условия на малость в теории категорий?..

[warlock66613]

EminentVictorians в сообщении #1575609 писал(а):

ничем не ограниченный минус ~5 множеств типа расселовского

Это не работает. Для любого предиката $P(x)$ не более одного из двух множеств $\{x | P(x)\}$, $\{x | \neg P(x)\}$ существует. Так что множеств в некотором смысле меньше, чем не-множеств.

[Doctor Boom]

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1575609 писал(а):

Противоречие с законом исключенного третьего.

С законом непротиворечия

[EminentVictorians]

warlock66613 в сообщении #1575610 писал(а):

Это не работает. Для любого предиката $P(x)$ не более одного из двух множеств $\{x | P(x)\}$, $\{x | \neg P(x)\}$ существует. Так что множеств в некотором смысле меньше, чем не-множеств.

warlock66613, спасибо, интересно. Я никогда не думал про это с такой точки зрения.