Сила взаимодействия пересекающихся заряженных шаров

[reterty]

Хорошо известна задача о нахождении поля в области пересечения равномерно заряженных шаров. А вот силу взаимодействия между такими пересекающимися шарами, вроде, никто не рассчитывaл. Вот у меня и созрел вопрос: в каком практическом аспекте может быть интересна такая задача?

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1570403 писал(а):

А вот силу взаимодействия между такими пересекающимися шарами, вроде, никто не рассчитывaл.

Вот тут https://dxdy.ru/topic151229.html товарищ занимался близкой по духу задачей. Не в курсе, чем там закончилось, решил он её или нет.

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1570446 писал(а):

reterty в сообщении #1570403 писал(а):

А вот силу взаимодействия между такими пересекающимися шарами, вроде, никто не рассчитывaл.

Вот тут https://dxdy.ru/topic151229.html товарищ занимался близкой по духу задачей. Не в курсе, чем там закончилось, решил он её или нет.

..... именно этот топик и навеял у меня такую идею. Там должна быть функция с максимумом при некотором расстоянии между центрами меньше суммы радиусом шаров. При совпадении центров шаров сила взаимодействия обращается в нуль

[fred1996]

Пока что в голову приходит тривиальная вещь:
Если радиусы шаров не равны, и если один находится полностью в другом, то сила взаимодействия, как ни удивительно. Совпадает с силой взаимодействия с точечным Западом, расположенным в центре малого шара. То есть пропорциональна расстоянию между центрами шаров.
То есть заведомо сила будет расти, пока поверхность малого шара не коснётся поверхности большого шара изнутри. То же самое если малый шар приближается снаружи - сила возрастает, пока не коснётся.
Значит решение где-то в пересечении поверхностей шаров.
Теперь можно рассмотреть задачу при радиусе малого шара много меньше радиуса большого шара.
Тогда поле большого шара внутри малого шара будет фактически однонаправленным.
И результирующую силу можно сосчитать простым интернированием (интегралы берутся, в отличие от общего случая. И результат можно будет найти как решение полинома высокой степени.

[Ignatovich]

При $d<<R$ получил

$F=\frac{3}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{qd}{4R^2}^2)$,

где d -расстояние между центрами двух одинаковых однородно заряженных шаров, R -радиус шара, q его заряд.

[mihiv]

При частичном перекрытии шаров радиусов $R_1,R_2,(R_1<R_2)$ сила взаимодействия равна (после интегрирования по углам):

$$F(d)=\frac 34\frac {q^2}{R_1^3}\left (F_1(d)+F_2(d)\right ), F_1(d)=\int \limits _{R_2}^{d+R_1}(1-\dfrac {(r^2+d^2-R_1^2)^2}{4d^2r^2})dr, F_2(d)=\frac 1{R_2^3}\int \limits _{d-R_1}^{R_2}(r^3-\dfrac {r(r^2+d^2-R_1^2)^2}{4d^2})dr$$

[mihiv]

Ignatovich в сообщении #1570595 писал(а):

При $d<<R$ получил
$F=\frac{3}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{qd}{4R^2}^2)$,

Не должна ли быть первая степень $d$? Потому что при переходе $d$ через 0 сила меняет знак.

[mihiv]

Для случая $R_1=R_2=R$ посчитал силу с помощью Wolfram, получился довольно простой результат:

$$F=\dfrac {q^2}{R^2}(b-\frac 9{16}b^2+\frac 1{32}b^4), b=\frac dR.$$

Ангармонический осциллятор. Все бы хорошо, но система симметричная, и можно было ожидать, что получится нечетная функция $b$.

[mihiv]

Похоже все посчитано правильно. Максимальное значение $F$ достигается при $b=1(d=R), F_{max}=\dfrac {15q^2}{32R^2}$.

[reterty]

mihiv в сообщении #1571908 писал(а):

Для случая $R_1=R_2=R$ посчитал силу с помощью Wolfram, получился довольно простой результат:

$$F=\dfrac {q^2}{R^2}(b-\frac 9{16}b^2+\frac 1{32}b^4), b=\frac dR.$$

Ангармонический осциллятор. Все бы хорошо, но система симметричная, и можно было ожидать, что получится нечетная функция $b$.

Уважаемый mihiv, ваша формула "не работет" для предельного случая касания шаров. Должно быть при $b=2$ $F=\frac{q^2}{4R^2}$, а у вас в точности нуль. Кроме того, мне не удалось все свести к однократному интегралу по полярному радису . Я также работаю в сферической системе; разбиваю области на кольца, после чего интегрирование по полярному углу производится тривиально. Однако, у меня все сводится почему то к интегрированию по азимутальному углу.....

[mihiv]

reterty
По-моему все получается правильно, при $b=2$ выражение в круглых скобках равно: $2-\frac {36}{16}+\frac {16}{32}=\frac 14$.

[reterty]

Да, это я считать разучился!!)) Но, все же сила должна быть нечетной функцией $b$...

[mihiv]

Функция и получается нечетной, можно ее записать в виде:

$$F=\dfrac {q^2}{R^2}b(1-\frac 9{16}|b|+\frac 1{32}|b|^3).$$

Если шар 1 слева от шара 2, то интегрируем по полярному углу от 0 до некоторого угла $\theta _0$, если шар 1 справа (при том же расстоянии между центрами), то интегрируем от $\theta _0$ до $\pi $, поэтому меняется знак.

[reterty]

К прекрасному анализу, проделанному выше fred1996 и mihiv, могу только добавить что при $R_2 \neq R_1$ ($R_2>R_1$) максимум достигается при $b=R_2/R_1$.

[Ignatovich]

Ignatovich в сообщении #1570595 писал(а):

При $d<<R$ получил
$F=\frac{3}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{qd}{4R^2}^2)$,

где d -расстояние между центрами двух одинаковых однородно заряженных шаров, R -радиус шара, q его заряд.

Ошибся: рассчитал силу взаимодействия двух половинок однородно поляризованного шара. Эта сила не равна силе взаимодействия двух одинаковых заряженных шаров, вставленных один в другой и сдвинутых на малое по сравнению с радиусом расстояние.

А исходный вопрос уважаемого reterty

reterty в сообщении #1570403 писал(а):

Вот у меня и созрел вопрос: в каком практическом аспекте может быть интересна такая задача?

остался без ответа.