Задача про проекторы.

[Maxim19]

Здравствуйте, можете проверить моё решение?
Задача: инейный оператор $A:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$  таков, что $A^{3}$— это оператор проекции. Какие собственные значения может иметь $A$? Верно ли, что $A$ будет иметь диагональную матрицу в каком-либо базисе?
Если $A^3$- проектор, то он симметричен(в ортонормированном базисе) и следовательно $A$ симметричен. Значит существуют ортоганальные матрицы перехода в другой базис где $A$ диагональна. Собственные значения проектора равны единице и нулю, а значит собственные значения $A$ являются нулём и корнями третьей степени из единицы. Я прошу проверить решение из за того, что меня смущает тут использование штук из евклидова пространства, хотя в задаче не оговорено то, что мы в этом пространстве.

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1574776 писал(а):

и следовательно $A$ симметричен

Вот это неправда.

Maxim19 в сообщении #1574776 писал(а):

меня смущает тут использование штук из евклидова пространства, хотя в задаче не оговорено то, что мы в этом пространстве

Тут всё нормально - никто не мешает нам ввести на этом пространстве какую попало евклидову структуру.

[Maxim19]

Точно, я почему то решил, что кубический корень матрицы определён однозначно.

[svv]

Вот один симпатичный кубический корень из $E_3$:
$A=\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix},\quad A^3=E$

[Maxim19]

Тогда иначе, оператор $A$ обязательно имеет одно собственное значение и оно должно быть равно или нулю или кубическом у корню из единицы. Остаётся только узнать, диагональна ли эта матрица. У меня идей нет, я хотел использовать свойство, что транспонированная матрица имеет то же самое вещественное значение, но как то не помогает или же что вот матрица $A$ если не диагональна, то найдётся такое подпространство, которое в базисе собственных векторов и каких нибудь других не будет инвариантным, а иначе мы могли бы постоянно эти инвариантные подпространства дробить на собственные значения и была бы диагональная матрица. Эта идея кажется будто является решением, но я не могу её дальше развить. У вас есть идеи?

[svv]

А какие Вы знаете кубические корни из единицы, кроме $1$?

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1574792 писал(а):

Тогда иначе, оператор $A$ обязательно имеет одно собственное значение и оно должно быть равно или нулю или кубическом у корню из единицы

И это неправда
$\begin{bmatrix}1&0&0\\-1&0&0\\\sqrt[3]{1}&0&0\end{bmatrix}$

Maxim19 в сообщении #1574792 писал(а):

то найдётся такое подпространство, которое в базисе собственных векторов и каких нибудь других не будет инвариантным

Это что-то странное, инвариантность подпространства не зависит от базиса.

Вы жорданову форму знаете?

[Padawan]

Maxim19 в сообщении #1574776 писал(а):

Какие собственные значения может иметь $A$?

$0$ и $1$. Может вообще не иметь.

Maxim19 в сообщении #1574776 писал(а):

Верно ли, что $A$ будет иметь диагональную матрицу в каком-либо базисе?

Не верно. $A$ вообще может не иметь (действительных) собственных значений.

[krum]

К фразе "рассмотрим оператор проектирования $A:X\to X$ обычно прилагается разложение $X=E\oplus F$ и фраза "на пространство $F$ вдоль $E$." Скалярное произведение, действительно, тут вторично и необязательно.

-- 23.12.2022, 10:27 --

Пространства $E,F$ восстанавливаются по заданному проектору $A,\quad A^2=A$.

-- 23.12.2022, 10:34 --

$$A\mid_F=I,\quad \ker A=E,\quad F=\mathrm{Im}\,A$$

[Maxim19]

svv в сообщении #1574794 писал(а):

А какие Вы знаете кубические корни из единицы, кроме $1$?

Комплексные.

-- 24.12.2022, 03:55 --

А почему неправда, что оператор обязательно имеет собственный вектор? Будет же характеристический многочлен, и он обязательно будет иметь комплексное решение. И вот это число должно быть либо нулём, либо корнем из единицы кубическим, иначе $A^3=A^6$ не будет равняться.

-- 24.12.2022, 03:59 --

Цитата:

Это что-то странное, инвариантность подпространства не зависит от базиса.

Вы жорданову форму знаете?

Я знаю, что инвариантность не зависит от базиса, я просто хотел в в таком базисе, чтобы те инвариантные подпространства были на диагональных блоках.

-- 24.12.2022, 03:59 --

Я жорданову форму не знаю

-- 24.12.2022, 04:02 --

Так что там на счёт диагональности матрицы $A$?

[svv]

Maxim19 в сообщении #1574941 писал(а):

Комплексные.

Правильно.

Пусть приведённая выше $A=\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}$ — это матрица оператора $\mathsf A$ в некотором базисе $\mathbb R^3$. Её характеристическое уравнение $\lambda^3-1=0$ имеет три корня: вещественный $1$ и два комплексных $-\frac 1 2\pm \frac {\sqrt 3} 2 i$.

Допустим, в $\mathbb R^3$ существует другой базис, в котором матрица оператора $\mathsf A$ диагональна (обозначим её $D$). На диагонали $D$ должны стоять эти три корня в каком-то порядке. Поскольку $A$ и $D$ — матрицы одного и того же оператора $\mathsf A$ в разных базисах, они связаны соотношением $D=S^{-1}AS$, где $S$ — матрица перехода. Но в правой части у нас всё вещественное (матрица перехода между двумя базисами в $\mathbb R^3$ вещественна, обратная к ней тоже). А у $D$ некоторые элементы комплексные.

Вывод?

[Maxim19]

Что не все матрицы будут диагональны. Спасибо

[svv]

Maxim19 в сообщении #1574948 писал(а):

не все матрицы будут диагональны

диагонализируемы
Обратите внимание, что та же $A$ будет диагонализируемой, если рассматривать её как матрицу над полем комплексных чисел.

Существуют и другие причины недиагонализируемости, на них Вам намекали в этой теме. Вы узнаете о них, когда будете изучать жорданову форму. Пример:
$B=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
$B^3$ будет матрицей проектора в некотором базисе, как и требуется по условию. Собственные значения $B$ вещественны — нуль и единица. Но привести её к диагональному виду преобразованием подобия ($S^{-1}BS$) нельзя.