Эквивалентность множеств

[ihq.pl]

Пусть $A,B$ произвольные бесконечные множества и $C$ счетно. Следует ли из эквивалентности $A\cup C \sim B\cup C$ эквивалентность $A \sim B$?

Здравый смысл говорит, что да. Смутило задание в учебнике Колмогорова, Фомина: Д-ть, что если $M$ - произвольное бесконечное мн-во и $A$ счетно, то $M \sim M\cup A$. Первое из того, что пришло на ум, это представить $M\cup A = (M\cup A)\cup A.$ Какое-то слишком простое задание получается для этого учебника

[Mikhail_K]

ihq.pl в сообщении #1574736 писал(а):

Первое из того, что пришло на ум, это представить $M\cup A = (M\cup A)\cup A.$

И как отсюда следует, что

ihq.pl в сообщении #1574736 писал(а):

если $M$ - произвольное бесконечное мн-во и $A$ счетно, то $M \sim M\cup A$

?

[ihq.pl]

Mikhail_K, разве нельзя написать $M\cup A \sim (M\cup A)\cup A$?

[Mikhail_K]

ihq.pl
Можно. Но как из этого следует, что $M\sim M\cup A$?
Вы доказали это утверждение не для любых множеств $M$, а только для множеств вида $M\cup A$.

-- 22.12.2022, 19:04 --

Кстати - где в Вашем решении используется бесконечность множества $M$?
Для конечных множеств $M$ утверждение неверно, а Вы его как будто доказываете для любых $M$.

[RIP]

ihq.pl в сообщении #1574736 писал(а):

Следует ли из эквивалентности $A\cup C \sim B\cup C$ эквивалентность $A \sim B$?

Следует. Доказывается как раз через $M\sim M\cup A$. По крайней мере ничего проще на ум не приходит.

[ihq.pl]

Mikhail_K в сообщении #1574742 писал(а):

ihq.pl
Можно. Но как из этого следует, что $M\sim M\cup A$?

Если обозначить $B=M\cup A$, то получается, что $M\cup A \sim B\cup A$, откуда $M\sim B$. Чего-то не понимаю

-- 22.12.2022, 20:22 --

RIP, то есть $A\cup C \sim B\cup C \Rightarrow A \sim B$ само по себе не очевидно?

[RIP]

ihq.pl в сообщении #1574744 писал(а):

RIP, то есть $A\cup C \sim B\cup C \Rightarrow A \sim B$ само по себе не очевидно?

Совсем не очевидно.

[ihq.pl]

Mikhail_K в сообщении #1574742 писал(а):

ihq.pl
Для конечных множеств $M$ утверждение неверно, а Вы его как будто доказываете для любых $M$.

Нет, только для бесконечных. Это дано в условии

-- 22.12.2022, 20:28 --

RIP в сообщении #1574746 писал(а):

Совсем не очевидно.

Спасибо) Буду думать дальше.

[RIP]

По поводу задачи — подсказка: рассмотрите счётное $B\subset M$.

[ihq.pl]

RIP в сообщении #1574750 писал(а):

По поводу задачи — подсказка: рассмотрите счётное $B\subset M$.

Да, получилось. Если взять счетное $B\subset M$ и обозначить $S=M\cup A, C=A\cup B$, то $M\cup A = C\cup (S\backslash C) \sim B\cup (S\backslash C) = M$ (это доказано в учебнике).

[Mikhail_K]

ihq.pl в сообщении #1574747 писал(а):

Нет, только для бесконечных. Это дано в условии

Вы не поняли, что я хотел Вам сказать. Да, в условии написано, что $M$ бесконечное. А если бы в условии не было так написано? Тогда Вы могли бы провести точно такое же рассуждение, которое было у Вас, и "доказать", что $M\sim M\cup A$ и для конечных $M$ тоже. Вы ведь нигде не использовали в своём рассуждении, что $M$ бесконечно. Но утверждение $M\sim M\cup A$ для конечных $M$ и счётных $A$ очевидно неверно.

ihq.pl в сообщении #1574744 писал(а):

то есть $A\cup C \sim B\cup C \Rightarrow A \sim B$ само по себе не очевидно?

Не просто не очевидно, но и неверно, если допускать случай конечных $A$ и $B$ (или несчётных $C$). Например:
$A=\{1,2,3\}$, $B=\{2,3\}$, $C=\{4,5,6,\ldots\}$.
Тогда $A\cup C\sim B\cup C$, но $A\not\sim B$.
Если отвлечься от того, что "дано в условии", то станет понятно: с "очевидностью", которая иногда работает, а иногда нет, что-то не так.

[ihq.pl]

Mikhail_K в сообщении #1574763 писал(а):

Вы не поняли, что я хотел Вам сказать...

Да, сразу не понял, что утверждение должно оставаться в силе для всех множеств, не только бесконечных. Потом только дошло. Спасибо)