Old Training camp No.1

[rsoldo]

Find all rational numbers $x$ for which $\sqrt{8x^2-2x-3}$ is also a rational number.

[Shadow]

$x=\dfrac{2(k^2+5k+7)}{k^2-8},\;\; k \in \mathbb{Q}$

[Dendr]

У меня два решения получилось:

(Оффтоп)

Пусть $y=\sqrt{8x^2-2x-3}$ - рациональное
Тогда

$$y^2=(3x-1)^2-(x-2)^2$$

Пусть $a, b, c, p, q, r$ - целые, и

$$\left(a\over p\right)^2+\left(b\over q\right)^2=\left(c\over r\right)^2$$

Перепишем:

$$(aqr)^2+(bpr)^2=(cpq)^2$$

Получаем, что $\{aqr, bpr, cpq\}$ - Пифагорова тройка
То есть
$aqr=m^2-n^2$
$bpr=2mn$
$cpq=m^2+n^2$
Мы не рассматриваем только примитивные тройки, поэтому ограничений на $m, n$ не накладываем, кроме целости, и обозначим $k={m\over n}$ - рациональное, кроме того, далее учтем возможную потерю знака у решения от возведения квадрат.

Заметим, что

$$\frac{cpq}{aqr}=\frac{c/r}{a/p}=\pm\frac{k^2+1}{k^2-1}$$

$$\frac{cpq}{bpr}=\frac{c/r}{b/q}=\pm\frac{k^2+1}{2k}$$

Поэтому ищем $x$ из выражений

$$\frac{3x-1}{x-2}=\pm\frac{k^2+1}{k^2-1}$$

$$\frac{3x-1}{x-2}=\pm\frac{k^2+1}{2k}$$

Первое дает

$$x=\frac{k^{\pm2}+3}{4-2k^{\pm2}}$$

Второе:

$$x=2\frac{k^2\mp k+1}{k^2\mp6k+1}$$

В силу рациональности $k$ можем отбросить в обеих формулах знак "плюс-минус", и останется ответ.

$$2\frac{k^2-k+1}{k^2-6k+1}$$

(Это то же самое, только со сдвигом на 3)

$$\frac{k^2+3}{4-2k^2}$$

[Shadow]

Dendr в сообщении #1574822 писал(а):

У меня два решения получилось:

На самом деле это не два решения, а две разные формы одного и того же решения. То, что я написал - другая форма и таких может быть бесконечно много - так получается при параметрических решений. Какая лучшая - не знаю, наверное та, что короче. Главное - чтобы была полнота и единственость (любое решение можно получить, причем при единственном значенни параметра). У кривых второго порядка параметрическое описание рациональных точек обычно полное, за исключением одной точки.

[Shadow]

Shadow в сообщении #1574829 писал(а):

$$y^2=(3x-1)^2-(x-2)^2$$

Сразу после $y^2=(4x-3)(2x+1)$ можно перейти к $\dfrac{4x-3}{2x+1}=k^2$, откуда сразу следует ваше решение

$x=\dfrac{k^2+3}{4-2k^2},\; y=\dfrac{5k}{2-k^2}$

а также $x=-1/2,y=0$

что, наверное и предполагалось автором.