2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Old Training camp No.1
Сообщение22.12.2022, 16:26 


01/08/19
95
Find all rational numbers $x$ for which $\sqrt{8x^2-2x-3}$ is also a rational number.

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Training camp No.1
Сообщение22.12.2022, 17:08 


26/08/11
2057
$x=\dfrac{2(k^2+5k+7)}{k^2-8},\;\; k \in \mathbb{Q}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Training camp No.1
Сообщение23.12.2022, 11:06 


02/04/18
240
У меня два решения получилось:

(Оффтоп)

Пусть $y=\sqrt{8x^2-2x-3}$ - рациональное
Тогда
$$y^2=(3x-1)^2-(x-2)^2$$

Пусть $a, b, c, p, q, r$ - целые, и
$$\left(a\over p\right)^2+\left(b\over q\right)^2=\left(c\over r\right)^2$$
Перепишем:
$$(aqr)^2+(bpr)^2=(cpq)^2$$
Получаем, что $\{aqr, bpr, cpq\}$ - Пифагорова тройка
То есть
$aqr=m^2-n^2$
$bpr=2mn$
$cpq=m^2+n^2$
Мы не рассматриваем только примитивные тройки, поэтому ограничений на $m, n$ не накладываем, кроме целости, и обозначим $k={m\over n}$ - рациональное, кроме того, далее учтем возможную потерю знака у решения от возведения квадрат.

Заметим, что
$$\frac{cpq}{aqr}=\frac{c/r}{a/p}=\pm\frac{k^2+1}{k^2-1}$$
$$\frac{cpq}{bpr}=\frac{c/r}{b/q}=\pm\frac{k^2+1}{2k}$$
Поэтому ищем $x$ из выражений
$$\frac{3x-1}{x-2}=\pm\frac{k^2+1}{k^2-1}$$
$$\frac{3x-1}{x-2}=\pm\frac{k^2+1}{2k}$$
Первое дает
$$x=\frac{k^{\pm2}+3}{4-2k^{\pm2}}$$
Второе:
$$x=2\frac{k^2\mp k+1}{k^2\mp6k+1}$$

В силу рациональности $k$ можем отбросить в обеих формулах знак "плюс-минус", и останется ответ.


$$2\frac{k^2-k+1}{k^2-6k+1}$$
(Это то же самое, только со сдвигом на 3)
$$\frac{k^2+3}{4-2k^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Training camp No.1
Сообщение23.12.2022, 12:12 


26/08/11
2057
Dendr в сообщении #1574822 писал(а):
У меня два решения получилось:
На самом деле это не два решения, а две разные формы одного и того же решения. То, что я написал - другая форма и таких может быть бесконечно много - так получается при параметрических решений. Какая лучшая - не знаю, наверное та, что короче. Главное - чтобы была полнота и единственость (любое решение можно получить, причем при единственном значенни параметра). У кривых второго порядка параметрическое описание рациональных точек обычно полное, за исключением одной точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Training camp No.1
Сообщение23.12.2022, 14:22 


26/08/11
2057
Shadow в сообщении #1574829 писал(а):
$$y^2=(3x-1)^2-(x-2)^2$$

Сразу после $y^2=(4x-3)(2x+1)$ можно перейти к $\dfrac{4x-3}{2x+1}=k^2$, откуда сразу следует ваше решение

$x=\dfrac{k^2+3}{4-2k^2},\; y=\dfrac{5k}{2-k^2}$

а также $x=-1/2,y=0$

что, наверное и предполагалось автором.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group