нумдивные последовательные 3-кортежи

[gris]

В процессе баловства с различными кортежами в целях усвоения интересного материала провёл эксперименты на PARI/GP.
Программки простенькие в силу маленьких диапазонов. Поэтому привожу результаты и теоретические попытки уяснения.
Рассматриваются кортежи из трёх последовательных натуральных чисел.
Каждому кортежу соответствует вектор из числа делителей каждого элемента кортежа.
$(1,2,3) \rightarrow (1,2,2)$
$(2,3,4) \rightarrow (2,2,3)$
$(3,4,5) \rightarrow (2,3,2)$
Каждому числу делителей соответствует набор паттернов известного вида (далее р — простое число)
$2: p; \;\;3: p^2; \;\;4: pq, p^3; ...$
Рассмотрим кортежи с вектором числа делителей $(2,n,2)$. То есть троек с двумя простыми близнецами по краям.
Лучше всего сразу отбросить векторы, которым не соответствует ни один кортеж:
$(2,2,2)$, так как нет трёх простых подряд и все $(2,2n+1,2)$, так как нечётный паттерн представим в виде произведения простых в чётных степенях и среднее число является квадратом, то есть левое является составным за единственным понятным исключением
$(3,4,5) \rightarrow (2,3,2)$
За этой тройкой среднее число должно делиться на 2 и на 3, чтобы обеспечить простоту крайних чисел.
Рассмотрим векторы кд вида $(2,2p,2)$. Среднему числу соответствуют два паттерна $2^{p-1}\cdot 3$ и $2\cdot 3^{p-1}$.
Никакой теории в голову не приходит. Только перебор Впрочем, для небольших чисел тройки находятся:
$(5, 6, 7) \rightarrow (2,4,2)$
$(11, 12, 13) \rightarrow (2,6,2)$
$(17, 18, 19) \rightarrow (2,6,2)$
$(191, 192, 193) \rightarrow (2,14,2)$
$(786431, 786432, 786433) \rightarrow (2,19,2)$

И больше в доступном мне диапазоне троек нет. Смотрел делители крайних чисел. Ничего не придумывается. В смысле доказывания, что одно из них обязательно составное.
С остальными векторами положение хорошее. Есть много троек для векторов кд вида $(2,2\cdot c,2)$, где $c$ — нечётное составное число.
Хочется расширять кортежи вширь:
$(10, 11, 12, 13, 14) \rightarrow (4,2,6,2,4)$
В чём я неправ? Прошу совета по предмету.

[wrest]

gris в сообщении #1574645 писал(а):

среднее число должно делиться на 2 и на 3

наверное "или" на 3? Потому что 14 на 3 не делится в $(191, 192, 193) \rightarrow (2,14,2)$

gris в сообщении #1574645 писал(а):

Только перебор Впрочем, для небольших чисел тройки находятся:
$(5, 6, 7) \rightarrow (2,4,2)$
$(11, 12, 13) \rightarrow (2,6,2)$
$(17, 18, 19) \rightarrow (2,6,2)$
$(191, 192, 193) \rightarrow (2,14,2)$
$(786431, 786432, 786433) \rightarrow (2,19,2)$

В последнем ошибка, там 38, а не 19. Кстати 38 на 3 тоже не делится.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1574659 писал(а):

gris в сообщении #1574645 писал(а):

среднее число должно делиться на 2 и на 3

наверное "или" на 3? Потому что 14 на 3 не делится в $(191, 192, 193) \rightarrow (2,14,2)$

Здесь gris прав, ибо говорил про само число, а не про число его делителей. То есть $192$ должно делиться на $6$ а не $14$.

38, а не 19, конечно же.

[Dmitriy40]

Часть значений (те что $3\cdot2^k$) приведены в A181493.
В формате $2\cdot3^k$ есть лишь два значения, $(5,6,7), (17,18,19)$.
Проверил оба формата до $k<10^4$ (хватило минут 15).

[Dmitriy40]

Поиск наименьших более длинных кортежей:

nn=vector(99);
{forstep(x=6,10^9,6,
   if(!ispseudoprime(x-1)||!ispseudoprime(x+1), next);
   n=2; while(numdiv(x-n)==numdiv(x+n), n++); n--; if(nn[n]>0, next);
   nn[n]=x;
   print1("n=",n*2+1,": ",x-n,"..",x,"..",x+n,": (",numdiv(x-n)); for(d=-n+1,n, print1(",",numdiv(x+d))); print(")");
)}
print("Time: ",strtime(gettime()));

Вывод:
n=3: 5..6..7: (2,4,2)
n=5: 10..12..14: (4,2,6,2,4)
n=9: 26..30..34: (4,4,6,2,8,2,6,4,4)
n=13: 426..432..438: (8,4,6,8,8,2,20,2,8,8,6,4,8)
n=7: 4257..4260..4263: (12,4,2,24,2,4,12)
n=11: 21835..21840..21845: (8,12,8,8,2,80,2,8,8,12,8)
n=15: 5729033..5729040..5729047: (4,16,16,12,8,8,2,120,2,8,8,12,16,16,4)
n=19: 64169751..64169760..64169769: (4,32,4,32,8,24,12,8,2,96,2,8,12,24,8,32,4,32,4)
n=17: 682518952..682518960..682518968: (8,8,16,8,12,16,16,2,320,2,16,16,12,8,16,8,8)
Time: 1min, 22,852 ms

[gris]

спасибо уделившим внимание. идея была найти подход к доказательству бесконечного количества близнецов или хотя бы открыть последовательность Ахххххх:
a(n)=min m: numdiv(m)==2 && n%(m+1)==0 && numdiv(m+2)==2
её легко начать вручную:
(3, 3, 5, 3, 29, 5, 41, 71... )
не хочу смотреть, наверняка уже есть . осталось показать, что она бесконечна(?) или это излишне
ой, спасибо за большие и длинные кортежи. а то у меня прямо, как модератор ругается красным:
*** divisors: the PARI stack overflows !
current stack size: 4000000 (3.815 Mbytes)
[hint] set 'parisizemax' to a nonzero value in your GPRC

9:58 комп слабоват и терпения не хватает ждать больше 10 мин

[wrest]

gris в сообщении #1574678 писал(а):

current stack size: 4000000 (3.815 Mbytes)

Ну эти 4 мегабайта.. маловато. Гигабайт хотя бы дайте :)
? default(parisizemax,10^9)
*** Warning: new maximum stack size = 1000001536 (953.676 Mbytes).
?

[EUgeneUS]

Тут мы вступаем в неизведанную область теории чисел.
"Неизведанную" в том смысле, что даже утверждения о простоте значений некоторых систем полиномов являются недоказанными гипотезами. (H-гипотеза и её расширения).

У нас же получается система не полиномов, а степенных показательных уравнений.
Для одного (из двух) паттернов можем записать систему:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &2 \cdot 9^{\frac{p-1}{2}}+1=u& \\ &2 \cdot 9^{\frac{p-1}{2}}-1=v& \\ \end{array} \right.$$

При этом должно выполняться $p, u, v \in \mathbb{P}$
Даже не знаю, есть ли какая-то содержательная гипотеза, которую можно сюда прикрутить.

Можно попробовать такой эмпирический критерий.
Перепишем систему, как

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &2 \cdot 9^{i}+1=u& \\ &2 \cdot 9^{i}-1=v& \\ \end{array} \right.$$

Введем обозначения:
$P_i^{(v)}$ - вероятность, что число $v$ - простое при фиксированном $i$
$P_i^{(u)}$ - вероятность, что число $u$ - простое при фиксированном $i$
$P_i^{(p)}$ - вероятность, что число $2i+1$ - простое при фиксированном $i$

Посчитаем значение ряда $P = \sum\limits_{i=1}^{\infty} P_i^{(p)} P_i^{(u)} P_i^{(v)}$
Если ряд разойдётся, то можно выдвинуть гипотезу, что таких троек бесконечное количество.
А если ряд сойдётся, то можно выдвинуть гипотезу, что таких троек конечное количество, или их нет.

-- 22.12.2022, 10:43 --

Некоторым аналогом являются числа Мерсена: $M_n = 2^n -1$, про которые:

Цитата:

Неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна

-- 22.12.2022, 10:50 --

Кстати, если применить озвученный выше эмпирический критерий, то получается следующее:

1. Если целочисленное показательное уравнение одно, то ряд расходится и можно предполагать бесконечное число решений в простых числах. Впрочем, то такое:
$\sum\limits^{\infty}_{i=2} \frac{1} {i \ln i}$ - расходящийся ряд с наиболее быстро убывающими членами.
Если степень $i$ или $\ln i$ в знаменателе будет насколько угодно больше единицы, то ряд сойдётся.

2. Если в системе более одного уравнения, при этом хотя бы одно из них - показательное, то ряд сойдется. И можно предполагать всего лишь конечное число решений в простыхх числах.

[gris]

эта теория пока мне недоступна
но вот получил такую последовательность

{for (m=1,200,
  forprime( n=2,20000, ind=0;
       if( (n+1)%m==0 && isprime(n+2),
         print1(" ",n); ind=1; break ) ;
  ); 
  if( ind==0, print1(" * ")  );
)} 
3 3 5 3 29 5 41 71 17 29 197 11 311 41 29 191 ...
2267 569 17189 191 6947 11057 1949 3527 13001 197 3581 599

то есть наименьший первый из близнецов, между которыми число кратное номеру в последовательности
или в таком виде:
3,5, 3,5, 5,7, 3,5, 29,31, 5,7, 41,43 ...

[wrest]

gris в сообщении #1574692 писал(а):

то есть наименьший первый из близнецов, между которыми число кратное номеру в последовательности

Я не понял о чем речь, но очень хотелось поучаствовать в этой нумерологии, и я сделал вам график.
По горизонтали - номер в последовательности, $m$ (т.е. ваш цикл запускал при $m$ от 1 до 10 000).
По вертикали -- число между близнецами делить на номер в последовательности, т.е. $\dfrac{n+1}{m}$.

И ещё один график.
По горизонтали -- число между близнецами делить на номер в последовательности.
По вертикали - сколько раз это число встречается в первых 10 000 номеров.

Чаще всего всречается число 6 (720 раз). Т.е. когда $\dfrac{n+1}{m}=6$
Первая двадцатка часто встречающихся

(Оффтоп)

(n+1)/m qty
6 720
12 530
30 476
3 440
18 388
2 332
15 326
24 322
42 298
9 264
4 258
10 234
60 231
36 219
21 212
1 205
54 163
48 149
5 148
8 145

-- 22.12.2022, 13:24 --

gris в сообщении #1574645 писал(а):

Каждому числу делителей соответствует набор паттернов известного вида (далее р — простое число)

Тут я тоже решил поучавствовать в нумерологии и сделал такой график:

Тут по горизнтали -- число между простыми близнецами.
По вертикали - количество различных простых множителей в разложении этого числа, т.е. без учета кратности (википедия называет эту функцию омега) $\omega (p+1)$. $p$ - младший близнец.
То есть там где $\omega (p+1)=2$ - множителей два (двойка и тройка) и число между близнецами равное $(p+1)$ разлагается в $2^i3^k$ где $i,k>0$
Горизонтальная шкала логарифмическая для удобства.
Видим что числа между близнецами вида $2^i3^k$ довольно редки, например их нет между близнецами в промежутке где близнецы от $10^4$ до $10^5$
Всего чисел между близнецами таких что $p+1=2^i3^k $ при $p+1<10^6$ нашлось 13 штук.

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1574677 писал(а):

Вывод:
n=3: 5..6..7: (2,4,2)
n=5: 10..12..14: (4,2,6,2,4)
n=9: 26..30..34: (4,4,6,2,8,2,6,4,4)
n=13: 426..432..438: (8,4,6,8,8,2,20,2,8,8,6,4,8)
n=7: 4257..4260..4263: (12,4,2,24,2,4,12)
n=11: 21835..21840..21845: (8,12,8,8,2,80,2,8,8,12,8)
n=15: 5729033..5729040..5729047: (4,16,16,12,8,8,2,120,2,8,8,12,16,16,4)
n=19: 64169751..64169760..64169769: (4,32,4,32,8,24,12,8,2,96,2,8,12,24,8,32,4,32,4)
n=17: 682518952..682518960..682518968: (8,8,16,8,12,16,16,2,320,2,16,16,12,8,16,8,8)

Продолжение:

n=21: 90200285462..90200285472..90200285482: (16,16,16,8,32,4,24,12,16,2,48,2,16,12,24,4,32,8,16,16,16)
n=23: 99353808517..99353808528..99353808539: (4,16,8,16,8,16,8,12,12,16,2,80,2,16,12,12,8,16,8,16,8,16,4)
n=25: 266491155156..266491155168..266491155180: (48,2,8,24,32,24,16,4,48,16,8,2,384,2,8,16,48,4,16,24,32,24,8,2,48)

Впервые появились другие простые, кроме центральной пары близнецов.

[Dmitriy40]

n=27: 3019826728787..3019826728800..3019826728813: (8,24,8,32,12,32,8,16,16,24,8,32,2,576,2,32,8,24,16,16,8,32,12,32,8,24,8)