Соотношение матанализа и дифференциальной геометрии

[EminentVictorians]

Ситуация следующая. Я никогда серьезно не вникал в дифференциальную геометрию и, более того, мне она как-то эстетически неприятна как наука. В отличие от матанализа, который мне очень даже приятен. (Под матанализом в рамках этой темы я понимаю примерно то, что написано у Лорана Шварца, лекциях Львовского и т.д.; сюда же комплексный и функциональный анализ)

Я бы хотел узнать, как соотносятся матанализ и дифференциальная геометрия. Насколько ДГ обобщает матанализ? Или она мало с ним соотносится? А то есть ведь всякие геометрические сюжеты в комплексном анализе, те же дифформы, многообразия там всякие и т.д.

Извиняюсь за максимально дилетантские вопросы, я по ДГ ни одной книжки не читал и никогда бы не начинал, если бы не её возможное участие в матанализе. А то матанализ хочется выучить, а потом как обычно окажется, что все уже обобщено и можно было бы сразу Кобаяши-Номидзу читать и не страдать фигней. Может ли так оказаться?

[Утундрий]

EminentVictorians в сообщении #1574533 писал(а):

я по ДГ ни одной книжки не читал

Но в то же время

EminentVictorians в сообщении #1574533 писал(а):

мне она как-то эстетически неприятна как наука.

Либо противоречие есть норма вашего существования, либо одно из двух.

EminentVictorians в сообщении #1574533 писал(а):

А то матанализ хочется выучить, а потом как обычно окажется, что все уже обобщено и можно было бы сразу Кобаяши-Номидзу читать и не страдать фигней. Может ли так оказаться?

А что вам, собственно, мешает прочесть и то и другое? Заодно и память потренируете.

[EminentVictorians]

Утундрий в сообщении #1574545 писал(а):

Но в то же время

Так и есть, что такого? Я же просматривал немного из любопытства. Называть это чтением язык не поворачивается.

Утундрий в сообщении #1574545 писал(а):

А что вам, собственно, мешает прочесть и то и другое? Заодно и память потренируете.

Оставим этот вариант на крайний случай.

[Утундрий]

EminentVictorians в сообщении #1574546 писал(а):

Оставим этот вариант на крайний случай.

Любопытный подход. Но, поскольку лично для меня "этот вариант" является одним из (если не) первых, то добавить мне нечего.

[пианист]

EminentVictorians
Деление знаний на области штука субъективная и условная, оно сложилось исторически.
Я бы сказал, выделение матанализа в отдельный раздел в большей (сравнительно с диффгеометрией) мере связано с традиционной структурой образовательной программы.
А так - есть математические структуры и их свойства, все остальное от лукавого. Если то, что принято относить к дифференциальной геометрии, не нравится - ну и не трогайте. В университетских курсах, вроде бы, этого не так много.

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1574577 писал(а):

Деление знаний на области штука субъективная и условная

Условная, но все равно ведь в известной степени. Например, алгебру от теории вероятностей отличает все же не чья-то прихоть, а объективная разница в предметах, методах и т.д. Понятно, что есть "серые зоны", но это не отменяет существования естественной классификации.

пианист в сообщении #1574577 писал(а):

Если то, что принято относить к дифференциальной геометрии, не нравится - ну и не трогайте. В университетских курсах, вроде бы, этого не так много.

Я давно перестал ориентироваться на университетские учебные планы и курсы, мне в них многое не подходит. Я уже говорил об этом, но повторюсь, т.к. пример очень яркий: алгебру изучают в первом семестре первого курса, а теорию категорий не изучают нигде (в лучшем случае на каком-нибудь спецкурсе на 4 курсе), хотя если посмотреть объективно, теория категорий ни разу не сложнее алгебры, а изучать алгебру без теории категорий - это, на мой взгляд, довольно самоотверженное решение, мягко говоря. Я к тому, что структура изучения предмета в учебнике может быть очень неоптимальна. Хотелось бы узнать об этом риске по отношению к матанализу, чтобы не получилось так же как у меня получилось с алгеброй.

[krum]

Правильное изучение математики -- это когда можешь решать задачи по мотивам изученного. Можешь решать сложные задачи -- значит изучаешь как надо, не можешь -- значит неправильно изучаешь.

[пианист]

EminentVictorians
Ну и пусть себе отличает. От того, что теорему, скажем, Радона-Никодима поместили в теорвер, а не в анализ-3, самой теореме ни жарко, ни холодно.

Если Вы сами себе составляете план занятий, то и вовсе нет проблем. Не нравится базис Френе - не читайте (если, конечно, не попадает в пререквизиты того, что Вам нужно).
Право, матанализ это не так сложно и объемно, если прочтете "не оптимально", без категорий, ничего фатального не случится.

[Anton_Peplov]

Извините, что влезаю в разговор уважаемых людей, но.

Лет семь назад у меня было время, чтобы изучать математику. Я тоже план себе сам составлял. И решил, что перед анализом, ОДУ и ДУЧП будет полезно выучить азы общей топологии. Ну, чтобы не доказывать первую теорему Вейерштрасса для $\mathbb R$, а просто доказать, что непрерывный образ компакта есть компакт. И прочее в том же духе.
Так вот азы общей топологии я тогда выучил. На довольно приличном уровне, больше, чем в книжке Виро-Иванова-Харламова-Нецветаева. Все задачи оттуда прорешал, собственные теоремы (простенькие) придумывал и доказывал и был очень собой доволен.

К анализу приступил. А потом у меня внезапно (ТМ) случились перемены в жизни и время на изучение математики закончилось. Зорича я с грехом пополам успел доковырять (и то до сих пор натыкаюсь на темы, которые не понял, хотя думал, что понял). И Колмогорова-Фомина до половины. А дифуры... А что дифуры? Кто не успел, тот опоздал!

Его пример другим наука. Арс, конечно, лонга, но вита ой как бревис. Или, как говорили в моей деревне, "если три версты обходу, напрямую будет семь". А то вот я оптимизировал, оптимизировал, да не выоптимизировал.

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1574604 писал(а):

От того, что теорему, скажем, Радона-Никодима поместили в теорвер, а не в анализ-3, самой теореме ни жарко, ни холодно.

По мне она чистой воды анализ-3.

пианист в сообщении #1574604 писал(а):

Право, матанализ это не так сложно и объемно, если прочтете "не оптимально", без категорий, ничего фатального не случится.

Матанализ у меня - это и вещественный (одномерный и многомерный) и комплексный (одномерный и многомерный), и функциональный. Давайте лучше тогда называть его просто "анализ". Довольно объемное мероприятие я бы сказал.

Anton_Peplov в сообщении #1574607 писал(а):

И решил, что перед анализом, ОДУ и ДУЧП будет полезно выучить азы общей топологии.

Дак это общее место. Какой анализ до азов общей топологии может быть?... Теорема Вейерштрасса - это топология и есть, как по мне. Я даже больше скажу, то что производная константы равна нулю - это тоже топология.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1574608 писал(а):

Матанализ у меня - это и вещественный (одномерный и многомерный) и комплексный (одномерный и многомерный), и функциональный

А. Тогда проблема

EminentVictorians в сообщении #1574585 писал(а):

структура изучения предмета в учебнике может быть очень неоптимальна

довольно абстрактна. Скорее всего, Вы не найдете ни одного такого учебника.

[svv]

EminentVictorians в сообщении #1574608 писал(а):

Я даже больше скажу, то что производная константы равна нулю - это тоже топология.

А кто-то скажет — это чистая алгебра. Дифференциальные операторы удовлетворяют правилу Лейбница $D(fg)=(Df)g+f(Dg)$. Отсюда $D(1\cdot 1)=2D(1)$ и $D(1)=0$.

[Утундрий]

Я, наверное, смогу-таки коротко сформулировать. Найдите себе тему/задачу и по мере её разработки/решения подтягивайте и изучайте требуемую математику. А изучать, просто, чтобы изучить - ребячество, честное слово.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1574533 писал(а):

Я бы хотел узнать, как соотносятся матанализ и дифференциальная геометрия.

Разрешите вставить свои дилетантские суждения. В классическом анализе изучаются в основном функции, заданные на $R^n$ . Но в нём проскальзывают элементы классической дифференциальной геометрии, которая изучает дифференцируемые многообразия, функции на них, и дифференциальные и интегральные операторы, заданные на этих функциях. Например, неявная функция по сути представляет собой многообразие, которое в учебниках анализа обычно гладкое (по крайней мере в нужных нам точках). Интегральное исчисление на многообразиях принято относить к классичекому анализу. В учебниках анализа также бывают такие темы, как репер Френе и квадратичная форма поверхности. Эти темы изучаются и в учебниках по классической дифгеометрии. Но в общем в этой дифгеометрии всё изучается классическими методами анализа и дифференциальных уравнений. Для вычисления чего-нибудь конкретного часто привлекаются криволинейные координаты и тензоры.

Что касается современной дифгеометрии, то там уже границы науки очертить трудно. Применяются методы не только анализа, но и алгебры и алгебраической и дифференциальной топологии. На мехмате МГУ два курса. Сначала идёт классическая дифгеометрия. Затем дифгеометрия и топология.

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1574614 писал(а):

Скорее всего, Вы не найдете ни одного такого учебника.

Я же не прошу прям совсем экстра высокий уровень, с категориями там и т.д. Я готов временно смириться с тем уровнем абстрактности, который есть, допустим у Лорана Шварца. Меня сейчас интересует, насколько во всем этом завязана дифференциальная геометрия. Хотелось бы конкретных примеров, типа "объект $A$, традиционно изучаемый в курсах анализа, на самом деле раскрывается в полноте своей в курсе ДГ", где $A$ - это многообразие, векторное поле, дифференциал или что тут может еще быть. Я говорю, я ДГ совсем не знаю, поэтому мне сложно даже примерно обрисовать, что на месте этого $A$ может быть.

svv в сообщении #1574615 писал(а):

А кто-то скажет — это чистая алгебра.

Именно! Есть мнение, что алгебра и топология - это две стороны одной монеты. Об этом Руст где-то писал, но я не могу так сходу найти. По ощущениям - так и есть.