Предел не равен значению?

[reterty]

Рассмотрим интеграл с параметром вида:

$$ I (a, \theta)=\int (\sqrt{a^2 \cos^2 \theta-a^2+1}-1)\sin \theta \cos \theta d \theta.$$

Интегрируя , получаем:

$$ I (a, \theta)=-\frac{(a^2 \cos^2 \theta-a^2+1)^{3/2}}{3a^2}+\frac{\cos^2 \theta}{2}$$

. Формальная подстановка в подинтегральное выражение $a=0$ дает: $ I (a, \theta)=0$, тогда как предел при $a \to 0$, согласно второму выражению расходится...

[mihaild]

reterty в сообщении #1574503 писал(а):

$$ I (a, \theta)=-\frac{(a^2 \cos^2 \theta-a^2+1)^{3/2}}{3a^2}+\frac{\cos^2 \theta}{2}$$

$+C$

[krum]

ошибки легко можно было бы избежать, если бы не инновационные "предельные переходы под знаком неопределенного интеграла"

[reterty]

mihaild в сообщении #1574505 писал(а):

reterty в сообщении #1574503 писал(а):

$$ I (a, \theta)=-\frac{(a^2 \cos^2 \theta-a^2+1)^{3/2}}{3a^2}+\frac{\cos^2 \theta}{2}$$

$+C$

... и постоянная интегрирования зависит от параметра так, что расходимость исчезает и получается нуль. Понятно.

[wrest]

reterty в сообщении #1574503 писал(а):

согласно второму выражению расходится...

Почему расходится?

-- 20.12.2022, 18:22 --

reterty в сообщении #1574507 писал(а):

... и постоянная интегрирования зависит от параметра так, что расходимость исчезает и получается нуль. Понятно.

Да, ну посмотрите например на ряд Лорана первообразной вокруг $a=0$
Член который "расходится" при $a=0$ не зависит от переменной интегрирования, а значит интеграл (который равен разности первообразных в конечной и начальной точках интегрирования) НЕ расходится.