2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел не равен значению?
Сообщение20.12.2022, 17:11 
Аватара пользователя
Рассмотрим интеграл с параметром вида: $$ I (a, \theta)=\int (\sqrt{a^2 \cos^2 \theta-a^2+1}-1)\sin \theta \cos \theta d \theta.$$ Интегрируя , получаем: $$ I (a, \theta)=-\frac{(a^2 \cos^2 \theta-a^2+1)^{3/2}}{3a^2}+\frac{\cos^2 \theta}{2}$$. Формальная подстановка в подинтегральное выражение $a=0$ дает: $ I (a, \theta)=0$, тогда как предел при $a \to 0$, согласно второму выражению расходится...

 
 
 
 Re: Предел не равен значению?
Сообщение20.12.2022, 17:30 
Аватара пользователя
reterty в сообщении #1574503 писал(а):
$$ I (a, \theta)=-\frac{(a^2 \cos^2 \theta-a^2+1)^{3/2}}{3a^2}+\frac{\cos^2 \theta}{2}$$
$+C$

 
 
 
 Re: Предел не равен значению?
Сообщение20.12.2022, 17:41 
Аватара пользователя
ошибки легко можно было бы избежать, если бы не инновационные "предельные переходы под знаком неопределенного интеграла"

 
 
 
 Re: Предел не равен значению?
Сообщение20.12.2022, 17:43 
Аватара пользователя
mihaild в сообщении #1574505 писал(а):
reterty в сообщении #1574503 писал(а):
$$ I (a, \theta)=-\frac{(a^2 \cos^2 \theta-a^2+1)^{3/2}}{3a^2}+\frac{\cos^2 \theta}{2}$$
$+C$

... и постоянная интегрирования зависит от параметра так, что расходимость исчезает и получается нуль. Понятно.

 
 
 
 Re: Предел не равен значению?
Сообщение20.12.2022, 17:44 
reterty в сообщении #1574503 писал(а):
согласно второму выражению расходится...

Почему расходится?

-- 20.12.2022, 18:22 --

reterty в сообщении #1574507 писал(а):
... и постоянная интегрирования зависит от параметра так, что расходимость исчезает и получается нуль. Понятно.

Да, ну посмотрите например на ряд Лорана первообразной вокруг $a=0$
Член который "расходится" при $a=0$ не зависит от переменной интегрирования, а значит интеграл (который равен разности первообразных в конечной и начальной точках интегрирования) НЕ расходится.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group