Теорема Кантора-Бернштейна

[Vladimir Pliassov]

Пытаюсь понять доказательство теоремы Кантора – Бернштейна в "НАЧАЛЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ" Н. К. Верещагина, А.Шеня

(https://www.mccme.ru/free-books/shen/sh ... art1-2.pdf стр. 20 - 21).

Цитата:

Теорема 6 (Кантора – Бернштейна). Если множество $A$ равномощно некоторому подмножеству множества $B$, а $B$ равномощно некоторому подмножеству множества $A$, то множества $A$ и $B$ равномощны.

Доказательство. Пусть $A$ равномощно подмножеству $B_1$ множества $B$, а $B$ равномощно подмножеству $A_1$ множества $A$ (см. рис. 2). При взаимно однозначном соответствии между $B$ и $A_1$ подмножество $B_1 \subset B$ переходит в некоторое подмножество $A_2 \subset A_1$. При этом все три множества $A, B_1$ и $A_2$ равномощны, — и нужно доказать, что они равномощны множеству $B$, или, что то же самое, $A_1$.

Теперь мы можем забыть про множество $B$ и его подмножества и доказывать такой факт:

если $A_2 \subset A_1 \subset A_0$ и $A_2$ равномощно $A_0$, то все три множества равномощны.

(Для единообразия мы пишем $A_0$ вместо $A$.)

Пусть $f$ — функция, осуществляющая взаимно однозначное соответствие $A_0 \to A_2$ (элемент $x\in A_0$ соответствует элементу$ f(x) \in A_2$). Когда $A_0$ переходит в $A_2$, меньшее множество $A_1$ переходит в какое-то множество $A_3 \subset A_2$ (см. рис. 3). Аналогичным образом само $A_2$ переходит в некоторое множество $A_4 \subset A_2$. При этом $A_4 \subset A_3$, так как $A_1 \subset A_2$.

Здесь, конечно, опечатка: не $A_1 \subset A_2$, а $A_2 \subset A_1$.

Цитата:

Продолжая эту конструкцию, мы получаем убывающую последовательность множеств $A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset A_4 \supset \ldots$ и взаимно однозначное соответствие $f \colon A_0 \to A_2$, при котором $A_i$ соответствует $A_{i+2}$ (иногда это записывают так: $f(A_i) = A_{i+2}$). Формально можно описать $A_{2n}$ как множество тех элементов, которые получаются из какого-то элемента множества $A_0$ после $n$-кратного применения функции $f$. Аналогичным образом $A_{2n+1}$ состоит из тех и только тех элементов, которые получаются из какого-то элемента множества $A_1$ после $n$-кратного применения функции $f$.

Заметим, что пересечение всех множеств $A_i$ вполне может быть непусто: оно состоит из тех элементов, у которых можно сколько угодно раз брать $f$-прообраз.

Теперь можно сказать так: множество $A_0$ мы разбили на непересекающиеся слои $C_i = A_i \setminus A_{i+1}$ и на сердцевину $C =\bigcap _i A_i$.

Я не понимаю, что собой представляет пересечение $C$ всех множеств $A_i$. Этим пересечением не может быть ни одно из $A_i$, хотя бы потому что при отображении $f$ ни одно из них не переходит в себя (по доказательству $C$ переходит в себя).

Этим пересечением не может быть и ни один из слоев $C_i$, также хотя бы потому что при отображении $f$ ни один из них не переходит в себя (более того, ни один элемент $x\in C_i$ не отображается в элемент, принадлежащий $C_i$).

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1574217 писал(а):

Я не понимаю, что собой представляет пересечение $C$ всех множеств $A_i$. Этим пересечением не может быть ни одно из $A_i$, хотя бы потому что при отображении $f$ ни одно из них не переходит в себя (по доказательству $C$ переходит в себя).

$C$ - это просто множество - множество точек, принадлежащих всем $A_i$ одновременно (по определению пересечения). Оно не должно совпадать с чем-то определённым ранее.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1574220 писал(а):

$C$ - это просто множество - множество точек, принадлежащих всем $A_i$ одновременно

Если бы последовательность $A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset A_4 \supset \ldots$ была конечной, то ее последний член был бы пересечением $C$ всех ее членов. Но она бесконечная, и поэтому этого последнего члена не существует. Где здесь место для $C$?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1574222 писал(а):

Если бы последовательность $A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset A_4 \supset \ldots$ была конечной, то ее последний член был бы пересечением $C$ всех ее членов. Но она бесконечная, и поэтому этого последнего члена не существует. Где здесь место для $C$?

Вне связи с теоремой Кантора-Бернштейна, рассмотрим отрезки $A_n=\left[-1-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]$, $n\in\mathbb{N}$. Найдите пересечение всех этих отрезков. Используйте определение пересечения: искомое пересечение есть множество точек, которые принадлежат всем $A_n$ одновременно.

[Vladimir Pliassov]

$\left[-1,1\right]$. Действительно!

А почему вне связи с теоремой Кантора-Бернштейна? Разве эта модель не иллюстрирует ее?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1574228 писал(а):

$\left[-1,1\right]$.

Верно!

Vladimir Pliassov в сообщении #1574228 писал(а):

А почему вне связи с теоремой Кантора-Бернштейна? Разве эта модель не иллюстрирует ее?

Я имел в виду, что множества $A_n$ я придумал сам, а не получил из какого-то отображения $f$ по принципу, описанному в доказательстве теоремы Кантора-Бернштейна.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

$A_0$ -- множество всех вещественных (или всех рациональных) точек отрезка $[-2, 2]$,
$A_1$ -- ... $[-1,5; 1,5]$ и т. д.,
$C$ -- ... $[-1,1]$.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1574239 писал(а):

$A_0$ -- множество всех вещественных (или всех рациональных) точек отрезка $[-2, 2]$,
$A_1$ -- ... $[-1,5; 1,5]$ и т. д.,

Тогда надо писать $A_n=\left[-1-\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n+1}\right]$ (или $A_n=\mathbb{Q}\cap\left[-1-\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n+1}\right]$, если хотите включать в $A_n$ только рациональные числа) и начинать номера $n$ с нуля (в моём сообщении номера $n$ начинались с единицы).

А так да, Вы правы, именно эти множества и их пересечение я имел в виду.

[Vladimir Pliassov]

Понял, спасибо!