При

последовательность будет убывать, т.к.

при

.
Это неверно (хотя и легко исправляется).
Решение дифура

.
Значит

.
А это слишком легкомысленно -- ссылка на дифур формально ничего не доказывает.
Тем не менее, как наводящее соображение годится. Поэтому
А что говорят по поводу этого ряда Даламбер и Коши-радикальный?
-- ничего они в данном случае не смогут сказать в принципе.
И всё же апелляция к дифурам не слишком эстетична (дифуров к этому моменту может и не быть). Вот как можно выйти на результат без них.
Если заменить

на

с

, то будет сходимость со скоростью геометрической прогрессии, причём тем более медленная, чем ближе

к единице. Но у нас

, поэтому

должны убывать медленнее любой прогрессии. Напрашивается естественная гипотеза:

. Тупо подставим это в асимптотику синуса:

, откуда

. Таким образом, должно быть

(и даже

), т.е. ряд должен действительно расходится.
Всё это пока что тоже не более чем наводящие соображения, которые ничего не доказывают. Строго говоря, даже и не факт, что асимптотика будет чисто степенной (это зависит от того, что стоит в разложении синуса после куба, просто

недостаточно). Но мы ведь практически уверены, что расходимость есть с большим запасом. Так давайте огрубим и попытаемся доказать, что

для некоторого постоянного

.
Чтобы не отвлекаться на ненужные детали, задачу лучше обобщить и рассмотреть соотношение

, где

(это гарантирует

; впрочем, стремление именно к нулю тоже нужно доказывать, но это легко и шаблонно). Кроме того, предположим, что

два раза дифференцируема в нуле и что

; тогда из общей формулы Тейлора следует оценка

с некоторой

. Докажем, что при подходящей

из

следует

(тогда общее неравенство будет верно по индукции). Это легко делается в лоб: по индукционному предположению

, и достаточно доказать, что

, т.е.

. Последнее сводится к

, а это очевидно верно, если взять

достаточно большим.
База индукции очевидна:

, если опять же

достаточно велико. Был небольшой пробел -- чтобы оценка проходила, нужно ещё монотонное возрастание

. Но при малых иксах оно есть, а мы всегда можем считать

достаточно малым.