2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Минимум арифметической функции
Сообщение13.12.2022, 16:29 


23/02/12
3103
Найти значения $n$, при которых достигается минимум арифметической функции $\prod_{p|n} \frac{\sigma_2(p)}{p-2}$?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.12.2022, 18:17 
Админ форума


02/02/19
1991
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- размещение задачи в олимпиадном разделе предполагает, что Вам известно готовое решение. Если оно у Вас есть, пришлите его модератору в ЛС. Если его нет, то сообщите об этом, и перенесем тему в ПРР. Но тогда потребуются попытки решения.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.12.2022, 21:08 
Админ форума


02/02/19
1991
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: ТС отправил свое решение в ЛС модератору.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум арифметической функции
Сообщение13.12.2022, 21:29 


26/08/11
2057
Может $\sigma_2(n)$ (сумма квадратов делителей $n$)
Или что-то другое имеется ввиду?

UPD: Нет, понял. Там еще и произведение

UPDUPD: Нет, не понял. Все равно подумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум арифметической функции
Сообщение13.12.2022, 22:06 


23/02/12
3103
Shadow в сообщении #1573721 писал(а):
Может $\sigma_2(n)$ (сумма квадратов делителей $n$)
Да, сумма квадратов делителей простого $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум арифметической функции
Сообщение13.12.2022, 23:19 


26/08/11
2057
vicvolf в сообщении #1573725 писал(а):
Shadow в сообщении #1573721 писал(а):
Может $\sigma_2(n)$ (сумма квадратов делителей $n$)
Да, сумма квадратов делителей простого $p$.
И я о том же. Во первых, для простого $p$ имеется и более понятная, и более короткая нотация для $\sigma_2( p)$ (Если, конечно, это не тест на олигофрению.)
Во вторых, в условии нигде не указано, что $p$-простое, а только что $p$ - делитель $n$. Тогда возникают вопросы, а что при $p=1$ или $p=2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум арифметической функции
Сообщение14.12.2022, 00:39 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Если $p$ - именно простой делитель $n$, то $n=5^m,m\in\mathbb{N}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум арифметической функции
Сообщение14.12.2022, 09:56 


23/02/12
3103
waxtep в сообщении #1573733 писал(а):
Если $p$ - именно простой делитель $n$, то $n=5^m,m\in\mathbb{N}$
Ответ правильный. Он несложный, получается перебором, а можете доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум арифметической функции
Сообщение14.12.2022, 11:24 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
vicvolf в сообщении #1573756 писал(а):
а можете доказать?
Локальный минимум $\frac{x^2+1}{x-2}$ достигается при $x=2+\sqrt{5}$, проверим лежащие рядом $p\in\{3,5\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум арифметической функции
Сообщение14.12.2022, 12:17 


23/02/12
3103
waxtep в сообщении #1573764 писал(а):
vicvolf в сообщении #1573756 писал(а):
а можете доказать?
Локальный минимум $\frac{x^2+1}{x-2}$ достигается при $x=2+\sqrt{5}$, проверим лежащие рядом $p\in\{3,5\}$
А почему Вы не учитываете случай нескольких разных простых делителей и произведение содержит несколько сомножителей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум арифметической функции
Сообщение14.12.2022, 15:34 


02/04/18
240
vicvolf в сообщении #1573775 писал(а):
случай нескольких разных простых делителей

Зачем эти формальности?
Произведение чисел, больших 1, всегда больше любого из сомножителей. Следовательно, наименьшее значение может быть достигнуто только если этот сомножитель ровно один, и сразу приходим к тому, что $n=p^k$, остается только разобраться, какое там $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум арифметической функции
Сообщение14.12.2022, 16:10 


23/02/12
3103
Dendr в сообщении #1573810 писал(а):
vicvolf в сообщении #1573775 писал(а):
случай нескольких разных простых делителей

Зачем эти формальности?
Я просто рассматривал более общий случай. Вот мой вариант решения.

Можно показать, что если функция $g(p) > 1$ и монотонно возрастает при $p \geq a$, где $p,a$ - простые числа, то $\prod_{p|n} g(p) \geq g(a)$, а равенство достигается при $n=a^m$, где $m$ - натуральное число.

Пояснение. Если $n$ имеет несколько простых делителей, то учитывая, что $g(p) > 1$, то произведение будет больше, чем в случае, когда $n$ имеет один простой делитель. Поэтому минимум достигается, когда $n$ имеет один простой делитель. Так как начиная с $p=a$ функция $g(p)$ монотонно возрастает, то минимум должен быть, когда $n$ имеет один простой делитель равный $a$, т.е. $n=a^m$.

В данном примере $\prod_{p|n}\frac {\sigma_2(p)}{p-2}=\prod_{p|n}\frac {p^2+1}{p-2}$. Функция $g(p)=\frac {p^2+1}{p-2} > 1$ монотонно возрастает при $p \geq 5$, поэтому минимум достигается при $n=5^m$ Минимум равен $g(a)=\frac {5^2+1}{5-2}=26/3$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group