Минимум арифметической функции

[vicvolf]

Найти значения $n$, при которых достигается минимум арифметической функции $\prod_{p|n} \frac{\sigma_2(p)}{p-2}$?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- размещение задачи в олимпиадном разделе предполагает, что Вам известно готовое решение. Если оно у Вас есть, пришлите его модератору в ЛС. Если его нет, то сообщите об этом, и перенесем тему в ПРР. Но тогда потребуются попытки решения.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: ТС отправил свое решение в ЛС модератору.

[Shadow]

Может $\sigma_2(n)$ (сумма квадратов делителей $n$)
Или что-то другое имеется ввиду?

UPD: Нет, понял. Там еще и произведение

UPDUPD: Нет, не понял. Все равно подумаю.

[vicvolf]

Shadow в сообщении #1573721 писал(а):

Может $\sigma_2(n)$ (сумма квадратов делителей $n$)

Да, сумма квадратов делителей простого $p$.

[Shadow]

vicvolf в сообщении #1573725 писал(а):

Shadow в сообщении #1573721 писал(а):

Может $\sigma_2(n)$ (сумма квадратов делителей $n$)

Да, сумма квадратов делителей простого $p$.

И я о том же. Во первых, для простого $p$ имеется и более понятная, и более короткая нотация для $\sigma_2( p)$ (Если, конечно, это не тест на олигофрению.)
Во вторых, в условии нигде не указано, что $p$-простое, а только что $p$ - делитель $n$. Тогда возникают вопросы, а что при $p=1$ или $p=2$

[waxtep]

Если $p$ - именно простой делитель $n$, то $n=5^m,m\in\mathbb{N}$

[vicvolf]

waxtep в сообщении #1573733 писал(а):

Если $p$ - именно простой делитель $n$, то $n=5^m,m\in\mathbb{N}$

Ответ правильный. Он несложный, получается перебором, а можете доказать?

[waxtep]

vicvolf в сообщении #1573756 писал(а):

а можете доказать?

Локальный минимум $\frac{x^2+1}{x-2}$ достигается при $x=2+\sqrt{5}$, проверим лежащие рядом $p\in\{3,5\}$

[vicvolf]

waxtep в сообщении #1573764 писал(а):

vicvolf в сообщении #1573756 писал(а):

а можете доказать?

Локальный минимум $\frac{x^2+1}{x-2}$ достигается при $x=2+\sqrt{5}$, проверим лежащие рядом $p\in\{3,5\}$

А почему Вы не учитываете случай нескольких разных простых делителей и произведение содержит несколько сомножителей?

[Dendr]

vicvolf в сообщении #1573775 писал(а):

случай нескольких разных простых делителей

Зачем эти формальности?
Произведение чисел, больших 1, всегда больше любого из сомножителей. Следовательно, наименьшее значение может быть достигнуто только если этот сомножитель ровно один, и сразу приходим к тому, что $n=p^k$, остается только разобраться, какое там $p$.

[vicvolf]

Dendr в сообщении #1573810 писал(а):

vicvolf в сообщении #1573775 писал(а):

случай нескольких разных простых делителей

Зачем эти формальности?

Я просто рассматривал более общий случай. Вот мой вариант решения.

Можно показать, что если функция $g(p) > 1$ и монотонно возрастает при $p \geq a$, где $p,a$ - простые числа, то $\prod_{p|n} g(p) \geq g(a)$, а равенство достигается при $n=a^m$, где $m$ - натуральное число.

Пояснение. Если $n$ имеет несколько простых делителей, то учитывая, что $g(p) > 1$, то произведение будет больше, чем в случае, когда $n$ имеет один простой делитель. Поэтому минимум достигается, когда $n$ имеет один простой делитель. Так как начиная с $p=a$ функция $g(p)$ монотонно возрастает, то минимум должен быть, когда $n$ имеет один простой делитель равный $a$, т.е. $n=a^m$.

В данном примере $\prod_{p|n}\frac {\sigma_2(p)}{p-2}=\prod_{p|n}\frac {p^2+1}{p-2}$. Функция $g(p)=\frac {p^2+1}{p-2} > 1$ монотонно возрастает при $p \geq 5$, поэтому минимум достигается при $n=5^m$ Минимум равен $g(a)=\frac {5^2+1}{5-2}=26/3$.