доказательство с последовательностью (не огранич и не б. б.)

[bubblemint]

нужно доказать, что последовательность не бесконечно большая и не ограничена.
сама последовательность: $$x_n = \ln\left(n\cdot\left(0.5+\cos (\frac{2n\pi} {3})\right)\right) $
1. если подставить n=3k+1 (n не кратное 3), то значение выражения обращается в 0 из-за косинуса => по определению, последовательность не бесконечно большая.
2. не ограничена, если $\forall c>0: \exists n\in \mathbb{N}\Rightarrow|x_n|>c$
если подставлять n=3k получается, что последовательность не ограничена, т.к. полученная последовательность стремится к +∞, т.е. бесконечно большая. как лучше расписать 2 пункт, чтобы не было противоречий с 1? расписать через подпоследовательность?

[svv]

bubblemint в сообщении #1573348 писал(а):

если подставить n=3k+1 (n не кратное 3), то значение выражения обращается в 0 из-за косинуса

Уточните, значение какого выражения обращается в нуль при $n$, не кратном $3$, и чему в этом случае равен $x_n$?

[bubblemint]

svv в сообщении #1573362 писал(а):

bubblemint в сообщении #1573348 писал(а):

если подставить n=3k+1 (n не кратное 3), то значение выражения обращается в 0 из-за косинуса

Уточните, значение какого выражения обращается в нуль при $n$, не кратном $3$, и чему в этом случае равен $x_n$?

последовательность равна нулю

[svv]

Давайте медленно. Итак, если $n$ некратно $3$, то $\cos\frac{2\pi n}3=-0.5$. Это я понимаю. Сумма $-0.5+0.5=0$, тоже понятно. Умножаем $n$ на $0$, получаем $0$. А дальше?

[bubblemint]

натуральный логарифм от 0 не существует. получается, последовательность не определена? впервые вижу подобную последовательность.

[svv]

Совершенно верно, последовательность не определена.
Вы имеете полное право вернуть задачу составителю на доработку.