Подпространство пространства Соболева

[iks-irek]

Помогите показать, что $\mathring {W^1_2}[a, b]= \{f\in W^1_2[a, b]: f(a)=f(b)=0\}$ является подпространством $W^1_2[a, b]$
UPD: возможно я пошёл длинным путём как раз таки. Пытаюсь доказать замкнутость, взяв фундаментальную последовательность в $\mathring {W^1_2}[a, b]$ и хочу показать, что предельная функция тоже лежит в этом классе.
Или есть другое решение задачи? Мне подсказали, что можно доказать, что $\mathring {W^1_2}[a, b]$ есть замыкание $C^\infty[a, b]$, но в этом направлении я не знаю с чего начать.
P.S. Простите, если вопрос элементарный, курс ФА я сдал 25 лет назад.

[Lia]

iks-irek
Вообще, задача тривиальная. Но можно пойти длинным путем.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

Задача не сказать чтоб совсем тривиальна. Фактически это теорема вложения: $W_2^1[a;b]\subset C[a;b]$ с подчинённостью норм. Факт, конечно, и общеизвестный, и принципиальный, и не так уж и трудно доказываемый. Но обойти его -- никак, разве что доказывать кустарно, на коленке и в замаскированном виде.

[alcoholist]

ewert в сообщении #1522054 писал(а):

Задача не сказать чтоб совсем тривиальна

Может быть я чего-то не понимаю, но, согласно определению, $\mathring {W^1_2}[a, b]$ есть подмножество ЛНП $W^1_2[a, b]$. А уж то, что это подмножество является подпространством, как раз тривиально.

[ewert]

alcoholist в сообщении #1522440 писал(а):

согласно определению, $\mathring {W^1_2}[a, b]$ есть подмножество ЛНП $W^1_2[a, b]$. А уж то, что это подмножество является подпространством, как раз тривиально.

Нетривиально даже то, что это подмножество, т.е. корректность самого определения (что граничные значения вообще имеют смысл). Формулировка задачи предполагает, что сей факт уже известен. Но тогда должна быть известна и теорема вложения, на которую этот факт опирается. Остаётся применить эту теорему ещё раз. Что, конечно, совсем просто, но проделать это всё-таки нужно.

[krum]

$u\in C^1[0,1]\Longrightarrow |u(x)|\le |u(y)|+|u(x)-u(y)|\Longrightarrow$

$$|u(x)|\le \int_0^1|u(y)|dy+\int_0^1\Big|\int_x^yu'(s)ds\Big|dy\le \int_0^1|u(y)|dy+\int_0^1|u'(s)|ds\le \|u\|_{L^2(0,1)}+\|u'\|_{L^2(0,1).$$

Далее используем всюду плотность $C^1[0,1]$ в $H^1(0,1)$ и получаем $ H^1(0,1)\subset C[0,1]$.

-- 07.12.2022, 12:53 --

Lia в сообщении #1521830 писал(а):

Вообще, задача тривиальная.

а нельзя ли увидеть тривиальное решение?

[artempalkin]

krum в сообщении #1572964 писал(а):

$$\int_0^1|u(y)|dy+\int_0^1|u'(s)|ds\leqslant \|u\|_{L^2(0,1)}+\|u'\|_{L^2(0,1)}.$$

(рука сама потянулась исправить на \leqslant)

а вот этот последний переход можете пояснить?
UPD Понял, Коши-Буняковский. Сначала показалось, что степени не сходятся.

-- 07.12.2022, 16:50 --

ewert в сообщении #1522495 писал(а):

Остаётся применить эту теорему ещё раз.

Вы имеете в виду применить ее к $\mathring {W^1_2}[a, b]$, что оно лежит в $\mathring C[a,b]$ с подчиненностью норм? И тогда из замкнутости $\mathring C[a,b]$ будет следовать замкнутость $\mathring {W^1_2}[a, b]$, правильно я понимаю?

(где $\mathring C[a,b]$ - непрерывные функции, равные нулю в концах отрезка, naturally)